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Advanced Physics Archive: Questions from January 06, 2023

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  Evalúe la integral \[ \int_{0}^{1+i} z^{*} d z \] usando los siguientes caminos: a) \( y=x \), b) \( y=x^{2} \), c) \( y=\sqrt{x} \). ¿Qué valor tiene la integral en cada camino? ¿Como explicar es
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  Demuestre que \[ \oint_{C}\left(z-z_{0}\right)^{n} d z=\left\{\begin{array}{ll} 2 \pi i & n=-1 \\ 0 & n \neq-1 \end{array}\right. \] en donde \( C \) es un camino cerrado que contiene \( z_{0} \) en s
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  Muestre que la delta de Kronecker puede ser representada como: \[ \delta_{m n}=\oint_{C} z^{m-n-1} d z \] en donde \( C \) es una región cerrada que encierra el origen del plano complejo y es recorri
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  Determine si las siguientes funciones son analíticas: a) \( f(z)=z^{3} \) c) \( f(z)=\cos z \) b) \( f(z)=\frac{1}{(1-z)^{2}} \) d) \( f(\mathfrak{E})=\frac{z^{*}}{z} \)
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  Escriba la serie de potencia de las siguientes funciones usando el desarrollo de Laurent. a) \( f(z)=\ln (1+z) \) b) \( f(z)=\frac{\operatorname{sen} z}{z} \) c) \( g(z)=\int_{0}^{z} \frac{1}{1+w^{4}}
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  Demuestre que si \( f(z) \) tiene un polo de orden \( m \) en \( z=z_{0} \), el residuo es: \[ a_{-1}=\frac{1}{(m-1) !} \frac{d^{m-1}}{d z^{m-1}}\left[\left(z-z_{0}\right)^{m} f(z)\right]_{z=z_{0}} \]
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• El punto a
  Determine la naturaleza de las singularidades de cada una de las siguientes funciones y evalúe los residuos para \( a>0 \). a) \( \frac{1}{z^{2}+a^{2}} \) d) \( \frac{z e^{i z}}{z^{2}-a^{2}} \) b) \(
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  Demuestre que \[ 4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)^{3}}=\frac{\pi^{3}}{8} \] mediante la evaluación de la integral \[ \int_{0}^{\infty} \frac{(\ln x)^{2}}{1+x^{2}} d x \] Nota: véase el
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  La función de Bessel puede ser representada de la forma \[ J_{n}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n u-x \operatorname{sen} u) d u \] En donde \( n \) es un número entero. Usando el método de l
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  La función factorial \( n \) ! se puede generalizar para números reales mediante la integral \[ n !=\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-x} d x \] Demuestre la aproximación de Stirling: \[ n ! \approx \sqrt
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