Advanced Math Archive: Questions from May 11, 2023
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Solve Laplace's equation, \( \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0,02 answers -
(1 point) Solve the initial value problem \[ \begin{array}{l} \quad y^{\prime \prime}+81 y=3 \sin 9 t, \quad y(0)=6, \quad y^{\prime}(0)=9 \\ y(t)= \end{array} \]2 answers -
Prove or disprove: If \( x \notin \mathbb{Q}, y \in \mathbb{Q}, x \neq 0 \), and \( y \neq 0 \), then \( x y \notin \mathbb{Q} \).2 answers -
2 answers
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Variable compleja (complex variable)
2. Encuentra la imagen de la recta \( y=x \) bajo el mapeo \( f(z)=z^{2} \).2 answers -
Calcule \( \int_{\gamma} \sqrt{z} d z \) donde \( \gamma \) es la parte superior del círculo unitario: primero haga el cálculo usando la definición de integral; después haga el cálculo usando el2 answers -
\[ \int_{\gamma} \frac{2 z^{2}-15 z+30}{z^{3}-10 z^{2}+32 z-32} d z \] donde \( \gamma \) es el círculo \( |z|=3 \). (Sugerencia: utilice fracciones parciales; \( z=2 \) es una raíz del denominador.2 answers -
Sea \( f \) una función entera. Si \( |f(z)| \leq M|z|^{n} \) para valores de \( |z| \) suficientemente grandes, donde \( M \) es una contante y \( n \) es un entero no negativo, demuestre que \( f \2 answers -
Sea \( f \) una función analítica sobre una curva cerrada simple \( \gamma \) y su interior. Suponga que \( f \) es cero sobre \( \gamma \). Pruebe que \( f \) también es cero en el interior de \(2 answers -
Suponga que \( f \) y \( g \) son funciones uno-a-uno y analíticas de la bola unitaria sobre si misma. Si \( f(0)=g(0) \) y \( g^{\prime}(0)=f^{\prime}(0) \neq 0 \), demuestre que \( f(z)=g(z) \) par2 answers -
Considere la curva \( \gamma_{1} \) definida por \( \gamma_{1}(t)=t^{3} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{t}\right) \), con \( 00 answers -
Sea \( g \) una función analítica en la bola unitaria \( \mathrm{B}(0 ; 1) . \mathrm{Si}|g(z)|=|z| \) para todo \( z \) en la bola unitaria, demuestre que \( g(z)=e^{i \theta} z \) para alguna const2 answers -
Suponga que \( f \) es una función entera y que \( \lim _{z \rightarrow \infty} \frac{f(z)}{z}=0 \). Demuestre que \( f \) es constante.2 answers -
Sea \( \gamma \) una curva cerrada contenida en \( \mathbb{C} \backslash\{z: \operatorname{Re}(z) \leq 0\} \). Demuestre que \( \int_{\gamma} \frac{d z}{z}=0 \).2 answers -
Sea \( G \) un dominio y sea \( \gamma \) una curva suave a trozos. Suponga que \( f: \mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) es una función continua en \( G \times \operatorname{Im} \2 answers