Sea G un dominio y sea γ una curva suave a trozos. Suponga que f:C×C→C es una función continua en G×Imγ y que si w es un punto que está fijo sobre γ entonces la función z↦f(z,w) es analítica en G. Definamos la función F(z)=∫γf(z,w)dwDemuestre que F(z) es analítica en G y que F′(z)=∫γ∂z∂f(z,w)dw, donde ∂z∂f denota la parcial de f con respecto a z con w fija.

Dada las condiciones sobre la función f mencionadas en el problema se define la función F(z)=\int_\gamma f(z,w) dw Se debe demost...

Resuelto Sea G un dominio y sea γ una curva suave a trozos.

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Pregunta: Sea G un dominio y sea γ una curva suave a trozos. Suponga que f:C×C→C es una función continua en G×Imγ y que si w es un punto que está fijo sobre γ entonces la función z↦f(z,w) es analítica en G. Definamos la función F(z)=∫γf(z,w)dwDemuestre que F(z) es analítica en G y que F′(z)=∫γ∂z∂f(z,w)dw, donde ∂z∂f denota la parcial de f con respecto a z con w fija.

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Hay 4 pasos para resolver este problema.
Solución
Paso 1
Dada las condiciones sobre la función $f$ mencionadas en el problema se define la función
$F (z) = \int_{γ} f (z, w) d w$
Se debe demost...
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Sea

G

un dominio y sea

γ

una curva suave a trozos. Suponga que

f : C \times C \to C

es una función continua en

G \times Im γ

y que si

w

es un punto que está fijo sobre

γ

entonces la función

z \mapsto f (z, w)

es analítica en

G

. Definamos la función

F (z) = \int_{γ} f (z, w) d w

Demuestre que

F (z)

es analítica en

G

y que

F^{'} (z) = \int_{γ} \frac{\partial f}{\partial z} (z, w) d w,

donde

\frac{\partial f}{\partial z}

denota la parcial de

f

con respecto a

z

con

w

fija.