Pregunta: Todos los barcos viajan a la misma velocidad a través de un canal ancho. Cada barco tarda t días en recorrer la longitud del canal. Los barcos en dirección este (es decir, los barcos que viajan hacia el este) llegan mediante un proceso de Poisson con una tasa de llegada de λE barcos por día. Los barcos en dirección oeste (es decir, los barcos que viajan

Todos los barcos viajan a la misma velocidad a través de un canal ancho. Cada barco tarda t días en recorrer la longitud del canal. Los barcos en dirección este (es decir, los barcos que viajan hacia el este) llegan mediante un proceso de Poisson con una tasa de llegada de λE barcos por día. Los barcos en dirección oeste (es decir, los barcos que viajan hacia el oeste) llegan como un proceso de Poisson independiente con una tasa de llegada de λW barcos por día. Un puntero en algún lugar del canal siempre apunta en la dirección de viaje del barco más reciente que lo pasó.

En cada parte a continuación, tus respuestas serán expresiones algebraicas en términos de λE,λW,x,t,v y/o k. Ingrese "LE" para λE y "LW" para λW, y use "exp()" para exponenciales. No utilice "fac()" o "!" para factoriales; en su lugar, calcule el valor numérico de cualquier factorial. Siga la notación estándar.

Para las Partes 1 y 2, supongamos que el puntero apunta actualmente hacia el oeste.

1) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo barco que pase vaya en dirección oeste?

2) Determine la PDF, fX(x), del tiempo restante, X, hasta que el puntero cambie de dirección.

Para x≥0,

Para las partes restantes de este problema, no hacemos suposiciones sobre la dirección actual del puntero.

3) ¿Cuál es la probabilidad de que un barco en dirección este no pase junto a ningún barco en dirección oeste durante su viaje hacia el este a través del canal?

4) A partir de un momento arbitrario, monitoreamos la sección transversal del canal en algún lugar fijo a lo largo de su longitud. Sea V la cantidad de tiempo que habrá transcurrido (desde que comenzamos a monitorear) cuando observemos nuestro séptimo barco en dirección este. Encuentra el PDF de V.

Para v≥0,

5) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo barco que llegue provoque un cambio en la dirección del puntero?

6) Si comenzamos a monitorear una sección transversal fija del canal en un tiempo arbitrario, determine la función de masa de probabilidad pK(k) para K, el número total de barcos que observamos hasta el séptimo barco que vemos en dirección este inclusive. La respuesta será de la forma pK(k)=(a6)⋅b, para expresiones algebraicas adecuadas en lugar de a y b.