Pregunta: Serie de Fibonacci La serie de Fibonacci está definida de forma repetida por la secuencia (Fn) donde F0=0,F1=1 y para n≥2, Fn=Fn−1+Fn−2. Aquí veremos las propiedades de la serie de Fibonacci. 1. Escriba los veinte primeros números de la serie de Fibonacci. 2. Halle una fórmula cerrada para la secuencia de Fibonacci mediante los siguientes pasos. a.

Serie de Fibonacci La serie de Fibonacci está definida de forma repetida por la secuencia $\left(F_n\right)$ donde $F_0=0,F_1=1$ y para $n\ge 2$, $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\text{. }$ Aquí veremos las propiedades de la serie de Fibonacci. 1. Escriba los veinte primeros números de la serie de Fibonacci. 2. Halle una fórmula cerrada para la secuencia de Fibonacci mediante los siguientes pasos. a. Considere la secuencia definida de forma repetida $\left|x_n\right|$ donde $x_o=cy{x}_{n+1}=a{x}_n$. Demuestre que esta secuencia puede describirse mediante la fórmula cerrada $x_n=c{a}^n$ para todo $n\ge 0$. b. Utilizando el resultado de la parte a. como motivación, halle una solución de la ecuación $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ de la forma $F_n=c{\lambda }^n$. Determine cuáles dos valores para $\lambda$ permitirán que $F_n$ satisfaga esta ecuación. c. Considere las dos soluciones de la parte $b_i:{\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$. Supongamos que $F_n=c_1{\lambda }_1^n+c_2{\lambda }_2^n$. Utilice las condiciones iniciales $F_0$ y $F_1$ para determinar los valores de las constantes $c_1$ y $c_2$ y escriba la fórmula cerrada $F_n$. 3. Utilice la respuesta en 2 c. para demostrar que ${\lim }_{n\to \infty }\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$