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  • Pregunta: a) Escribe la ecuación de Legendre (1−x2)y′′−2xy′+λy=0 en la forma de la ecuación Sturm-Liuville. Usa a continuación el siguiente resultado visto en clase p(x)[yn(x)dxdym(x)−ym(x)dxdyn(x)]∣∣ab=(λn−λm)∫abr(x)ym(x)yn(x)dx para responder: b) ¿por qué garantiza esto que los polinomios de Legendre son ortogonales? c) Usando la ecuación 4 encuentra que

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    Hay 4 pasos para resolver este problema.
    Solución
    Paso 1

    La ecuación diferencial de Legendre dada es:

    (1−x2)y′′−2xy′+λy=0

    Para expresarla en la forma de la ecuación Sturm-Liouvil...

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Texto de la transcripción de la imagen:
a) Escribe la ecuación de Legendre (1−x2)y′′−2xy′+λy=0 en la forma de la ecuación Sturm-Liuville. Usa a continuación el siguiente resultado visto en clase p(x)[yn​(x)dxdym​(x)​−ym​(x)dxdyn​(x)​]∣∣​ab​=(λn​−λm​)∫ab​r(x)ym​(x)yn​(x)dx para responder: b) ¿por qué garantiza esto que los polinomios de Legendre son ortogonales? c) Usando la ecuación 4 encuentra que Qn​(x)=Pn​(x)∫x0​x​[Pn​(x)]2(1−x2)ds​ y con ella deduce d) Q0​(x)=21​ln(1−x1+x​) y e) Q1​(x)=−1+2x​ln(1−x1+x​).