Pregunta: Se tiene la siguiente ecuación diferencialy˙(t)+ay(t)=bu(t),y(0)=0con a,binR+.a) Mediante transformada de Laplace encuentra y(t)b) Mediante el teorema del valor final (si es posible) muestra quelimt→∞y(t)=bac) Muestra quey(1a)~~0.63ba,y(2a)~~0.86ba,y(3a)~~0.95bay(4a)~~0.98ba,y(5a)~~0.99bad) Con la información anterior construye la gráfica de y(t)NotaEn

Se tiene la siguiente ecuaci$ó$n diferencial

$y^{\dot{}}(t)+ay(t)=bu(t),y(0)=0$

con $a,bin{R}^{+}.$

a$)$ Mediante transformada de Laplace encuentra $y(t)$

b$)$ Mediante el teorema del valor final $($si es posible$)$ muestra que

$\underset{t\to \infty }{lim}y(t)=\frac{b}{a}$

c$)$ Muestra que

$y(\frac{1}{a})$~~$0\mathrm{.}63\frac{b}{a},y(\frac{2}{a})$~~$0\mathrm{.}86\frac{b}{a},y(\frac{3}{a})$~~$0\mathrm{.}95\frac{b}{a}$

$y(\frac{4}{a})$~~$0\mathrm{.}98\frac{b}{a},y(\frac{5}{a})$~~$0\mathrm{.}99\frac{b}{a}$

d$)$ Con la informaci$ó$n anterior construye la gr$á$fica de $y(t)$

Nota

En t$é$rminos de sistemas: Un sistema de primer orden modelado con la ecuaci$ó$n diferencial

anterior, cuya entrada es un escal$ó$n y condici$ó$n inicial es cero, presenta la soluci$ó$n

$($respuesta o salida$)$ al escal$ó$n que se ha deducido. La salida tiende a el valor final $\frac{b}{a}.$

La constante $\tau =\frac{1}{a}$ recibe el nombre de constante de tiempo del sistema, se puede

observar que cuando ha transcurrido una constante de tiempo la salida alcanza el $63\%$

de su valor final as$í$ como tambi$é$n se observa que despues de $5$ constantes de tiempo la

salida ha alcanzado el $99\%$ de su valor final.