Pregunta: Problema * Demuestra la propiedad de adelgazamiento/coloración de un Proceso dePoisson para k colores:Teorema 1. Sea N=(N(t))t≥0 un proceso de Poisson de parámetro λ>0. Sean (ξi)iinNvariables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas e independientes de N. Lavariable aleatoria ξ1 toma valores en {1,dots,k} y tiene función de masa de

Problema $*$ Demuestra la propiedad de adelgazamiento$/$coloraci$ó$n de un Proceso de

Poisson para $k$ colores:

Teorema $1.$ Sea $N=(N(t){)}_t\ge 0$ un proceso de Poisson de par$á$metro $\lambda >0.$ Sean $({\xi }_i{)}_{\text{i}\text{i}\text{n}\text{N}}$

variables aleatorias independientes, id$é$nticamente distribuidas e independientes de N$.$ La

variable aleatoria ${\xi }_1$ toma valores en $\{1,$dots,$k\}$ y tiene funci$ó$n de masa de probabilidad

$P({\xi }_1=j)=p_j$ con

${\displaystyle \sum _{i=1}^k}{p}_j=1,y,p_j>0$ para jin$\{1,$dots,$k\}.$

Para cada jin$\{1,$dots,$k\}$ definimos

$N_j(t)={\displaystyle \sum _{i=1}^{N(t)}}1({\xi }_i=j).$

Entonces $N_j=(N_j(t){)}_t\ge 0$ es un proceso de Poisson de par$á$metro $\lambda p_j.$ Adem$á$s$,N_1,$dots,$N_k$

son procesos estoc$á$sticos independientes.