Pregunta: Transformadas de Laplace En los últimos capitulos hemos visto varias formas de utilizar la integración para resolver problemas del mundo real. Para el siguiente proyecto, vamos a explorar una aplicación más avanzada de la integración: las transformadas integrales. En concreto, describimos la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades. La

Transformadas de Laplace En los últimos capitulos hemos visto varias formas de utilizar la integración para resolver problemas del mundo real. Para el siguiente proyecto, vamos a explorar una aplicación más avanzada de la integración: las transformadas integrales. En concreto, describimos la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades. La transformada de Laplace se utiliza en ingeniería y física para simplificar los cálculos necesarios para resolver algunos problemas. Toma funciones expresadas en términos de tiempo y las transforma en funciones expresadas en términos de frecuencia. Resulta que, en muchos casos, los cálculos necesarios para resolver problemas en el ámbito de la frecuencia son mucho más sencillos que los requeridos en el ámbito del tiempo. La transformada de Laplace se define en términos de una integral como $L\{f(t)\}=F(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt.$ Tenga en cuenta que la entrada de una transformada de Laplace es una función del tiempo, $f(t)$, y la salida es una función de la frecuencia, $F(s)$. Aunque muchos ejemplos del mundo real requieren el uso de números complejos (que implican el número imaginario $i=\sqrt{-1}$ ), en este proyecto nos limitamos a funciones de números reales. Empecemos con un ejemplo sencillo. Aqui calculamos la transformada de Laplace de $f(t)=t$. Tenemos $L\{t\}={\int }_0^{\infty }t{e}^{-x}dt.$ Esta es una integral impropia, por lo que la expresamos en términos de un límite, lo que da $L\{t\}={\int }_0^{\infty }t{e}^{-3t}dt={\lim }_{z\to \infty }{\int }_0^{z}t{e}^{-st}dt.$ Ahora utilizamos la integración por partes para evaluar la integral. Observe que estamos integrando con respecto a $t$, por lo que tratamos la variable s como una constante. Tenemos $\begin{array}{rlrl}u& =t& dv& =e^{-st}dt\\ du& =dt& v& =-\frac{1}{s}{e}^{-s}.\end{array}$