Pregunta: Para un sistema diferencial LTI descrito por al ecuación y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a1y′(t)+a0y(t)=bmf(n)(t)+bm−1f(m−1)(t)+…+b1f′(t)+b0f(t) La función H(s)=F(s)Y(s)=L{f(t)}L{y(t)} donde todas las condiciones iniciales son nulas, es la función de transferencia del sistema, es importante notar que la función de transferencia H(s) depende solo de las constantes ai

Para un sistema diferencial LTI descrito por al ecuación $y^{(n)}(t)+a_{n-1}{y}^{(n-1)}(t)+\dots +a_1{y}^{\prime }(t)+a_{0}y(t)=b_m{f}^{(n)}(t)+b_{m-1}{f}^{(m-1)}(t)+\dots +b_1{f}^{\prime }(t)+b_{0}f(t)$ La función $H(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{\mathcal{L}\{y(t)\}}{\mathcal{L}\{f(t)\}}$ donde todas las condiciones iniciales son nulas, es la función de transferencia del sistema, es importante notar que la función de transferencia $H(s)$ depende solo de las constantes $a_i$ y $b_j$ no es afectada por la elección de $f(t)$, Si la función de entrada es un escalón unitario $u(t)$, entonces la ecuación (2) implica que $Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}=H(s)F(s)=\frac{H(s)}{s}=\mathcal{L}\{u(t)\}H(s)$ La solución (función de salida) en este caso particular la llamaremos admisión indicatriz y se denota como $A(t)$. Por lo tanto, en este caso $A(t)=y(t)$ así $A(s)=\frac{H(s)}{s}$ Es posible expresar la respuesta $y(t)$ del sistema (estamos hablando de la respuesta a estado cero) a una función general de entrada $f(t)$ en términos de la admisión indicatriz $A(t)$ y de $f(t)$. Para deducir estas relaciones, proceda como sigue: a) Muestre que $Y(s)=sA(s)F(s)$ b) Ahora aplique el teorema de convolución a (3) y muestre que $y(t)=\frac{d}{dt}[A(t)\ast f(t)]=\frac{d}{dt}\left[{\int }_0^{t}A(t-\tau )f(\tau )d\tau \right]=\frac{d}{dt}\left[{\int }_0^{t}A(\tau )f(t-\tau )d\tau \right]$ c) Para calcular la derivada indicada en (4), se puede usar la regla de Leibniz: $\frac{d}{dt}\left[{\int }_{a(t)}^{b(t)}g(\tau ,t)d\tau \right]={\int }_{a(t)}^{b(t)}\frac{dg(\tau ,t)}{dt}d\tau +g(b(t),t)\frac{db(t)}{dt}-g(a(t),t)\frac{da(t)}{dt}$ Aplique esta regla a la ecuación (4) para deducir las formulas (sugerencia: recuerde que $A(0)=$ $A^{\prime }(0)=0$ pues es la respuesta a estado cero para una entrada escalón unitario) $\begin{array}{c}y(t)={\int }_0^t{A}^{\prime }(t-\tau )f(\tau )d\tau \\ y(t)={\int }_0^{t}A(\tau )f^{\prime }(t-\tau )d\tau +A(t)f(0)\end{array}$ d) En las ecuaciones (5) y (6), haga el cambio de variable $w=t-\tau$,y muestre que $\begin{array}{c}y(t)={\int }_0^t{A}^{\prime }(w)f(t-w)dw\\ y(t)={\int }_0^{t}A(t-w)f^{\prime }(w)dw+A(t)f(0)\end{array}$ Las ecuaciones (5)-(8) se conocen como formulas de Duhamel, en honor al matemático francés J. M. C. Duhamel. Estas formulas son útiles para determinar la respuesta del sistema (respuesta a estado cero) a una entrada general $f(t)$, pues la admisión indicatriz del sistema se puede determinar de manera experimental midiendo la respuesta del sistema a una función escalón unitario. e) La función de respuesta al impulso $h(t)$ se define como $h(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{H(s)\}$, donde $H(s)$ es la función de transferencia. muestre que $h(t)=A^{\prime }(t)$, de modo que las ecuaciones (5) y (7) se pueden escribir de la forma $y(t)={\int }_0^{t}h(t-\tau )f(\tau )d\tau ={\int }_0^{t}h(\tau )f(t-\tau )d\tau =h(t)\ast f(t)$ Observemos que la admisión indicatriz $A(t)$ es la respuesta a una función escalón unitario $u(t)$ y la función de respuesta al impulso $h(t)$ es la respuesta al impulso $\delta (t)$. Pero la delta es la derivada (en un sentido generalizado) de la función escalón unitario. Por lo tanto, el hecho de que $h(t)=A^{\prime }(t)$ no es muy sorprendente.