Pregunta: La ecuación diferencial x'=x(1-x), se denomina ecuación logística. Es utilizada en microbiología paramodelar el crecimiento poblacional de algunas bacterias, donde x(t) permite estimar la población al tiempo t.Los parámetros biológicos del modelo, μm,λ,A, caracterizan a la curva de crecimiento bacteriano y estándefinidos como: μm es la pendiente de la

La ecuaci$ó$n diferencial $x^{\text{'}}=x(1-x),$ se denomina ecuaci$ó$n log$í$stica$.$ Es utilizada en microbiolog$í$a para

modelar el crecimiento poblacional de algunas bacterias, donde $x(t)$ permite estimar la poblaci$ó$n al tiempo $t.$

Los par$á$metros biol$ó$gicos del modelo, ${\mu }_m,\lambda ,A,$ caracterizan a la curva de crecimiento bacteriano y est$á$n

definidos como: ${\mu }_m$ es la pendiente de la recta tangente $Tm$ a la curva $x(t)$ en $t=t_i,$ donde $(t_i,x(t_i))$ es el

punto de inflexi$ó$n de dicha curva. El par$á$metro ${\mu }_m$ es llamado raz$ó$n m$á$xima de crecimiento poblacional; $\lambda$

es la primera coordenada del punto de intersecci$ó$n de la recta Tm con el eje t$,$ y es llamado tiempo de retraso;

A es el valor asint$ó$tico de la poblaci$ó$n$.$ Estos par$á$metros son importantes para el bi$ó$logo$,$ ya que le permiten

tener, de manera directa, una idea cualitativa adecuada de la evoluci$ó$n del crecimiento poblacional del

microorganismo.

$(20$ puntos$)$ Encuentre la soluci$ó$n de la ecuaci$ó$n $x^{\text{'}}=x(1-x),$ sujeta a la condici$ó$n $x(0)=\frac{1}{2}.$

$(10$ puntos$)$ Determine el par$á$metro $A.K=A=1,r=1$

$(10$ puntos$)$ Obtenga ${\mu }_m.$

$(10$ puntos$)$ Obtenga el tiempo $t_i($en el cual se alcanza la m$á$xima raz$ó$n de crecimiento poblacional$).$

e$)(20$ puntos$)$ Determine la ecuaci$ó$n de la recta Tm y util$í$cela para determinar el par$á$metro $\lambda$