En la solución de los estados ligados del átomo de hidrógeno ψE,l,m(r,θ,φ)=ruR,(r)Ylm(θ,φ), la función uE,l(r) satisface −2mℏ2dr2d2uE,l+[2mr2ℏ2l(l+1)−4πε0re2]uE,l(r)=EuE,l(r). donde E<0. Se propuso uE,l(r)=rl+1e−krv(r), con k2=2m∣E∣/ℏ2. Deduzca que entonces la ecuación que satisface v(r) es xdx2d2v+2[l+1−x]dxdv+[x0−2(l+1)]v(x)=0 donde se hizo el cambio de

No hay mucho que decir físicamente hablando de este problema, así que vamos a sustituir directamente...

Resuelto En la solución de los estados ligados del átomo de

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Pregunta: En la solución de los estados ligados del átomo de hidrógeno ψE,l,m(r,θ,φ)=ruR,(r)Ylm(θ,φ), la función uE,l(r) satisface −2mℏ2dr2d2uE,l+[2mr2ℏ2l(l+1)−4πε0re2]uE,l(r)=EuE,l(r). donde E<0. Se propuso uE,l(r)=rl+1e−krv(r), con k2=2m∣E∣/ℏ2. Deduzca que entonces la ecuación que satisface v(r) es xdx2d2v+2[l+1−x]dxdv+[x0−2(l+1)]v(x)=0 donde se hizo el cambio de
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En la solución de los estados ligados del átomo de hidrógeno

ψ_{E, l, m} (r, θ, φ) = \frac{u _{R} , ( r )}{r} Y_{l}^{m} (θ, φ)

, la función

u_{E, l} (r)

satisface

- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} u _{E, l}}{d r ^{2}} + [\frac{ℏ ^{2} l ( l + 1 )}{2 m r ^{2}} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}] u_{E, l} (r) = E u_{E, l} (r) .

donde

E < 0

. Se propuso

u_{E, l} (r) = r^{l + 1} e^{- k r} v (r)

, con

k^{2} = 2 m ∣ E ∣/ ℏ^{2}

. Deduzca que entonces la ecuación que satisface

v (r)

x \frac{d ^{2} v}{d x ^{2}} + 2 [l + 1 - x] \frac{d v}{d x} + [x_{0} - 2 (l + 1)] v (x) = 0

donde se hizo el cambio de variable

x = k r

y se definió

x_{0} \equiv \frac{2 m e ^{2}}{( 4 π ε _{0} ) ℏ ^{2} k} .