Pregunta: En la siguiente tarea encontrarás cinco problemas en los cuales determinarás e interpretarís puntos de equilibrio, ingresos, costos y ganancias. Para cada una de las preguntas, aplica las propiedades de las funciones para determinar e interpretar correctamente el punto de equilibrio en las siguientes situaciones, utilizando procedimientos matemáticos válidos

En la siguiente tarea encontrarás cinco problemas en los cuales determinarás e interpretarís puntos de equilibrio, ingresos, costos y ganancias. Para cada una de las preguntas, aplica las propiedades de las funciones para determinar e interpretar correctamente el punto de equilibrio en las siguientes situaciones, utilizando procedimientos matemáticos válidos y la notación matemática correcta. Expresa tu respuesta en términos del contexto del problema. 1. Una compañía vende radios portátiles. La ecuación de costos para manufacturar el producto está dada por $C(x)=x^2-x+30$. La compañia vende sus radios a $\$3.00\mathrm{cada}$ uno. Por lo tanto, su ecuación de ingreso es $R(x)=3x$, donde $R$ es el ingreso y $x$ es el número de unidades vendidas en la semana (en miles). Halla e interpreta el punto de equilibrio. ( 5 puntos) 2. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: (1) y (2) respectivamente, donde $p$ representa el precio por unidad en dólares y $q$, el número de unidades vendidas por periodo. (1) $3q-200p+1800=0$ (2) $3q+100p-1800=0$ Encuentra algebraicamente el precio de equilibrio. Encuentra e interpreta el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos por unidad al proveedor. ( 5 puntos) 3. Supongamos que tienes un negocio en el que vendes un único proçucto. Has realizado un estudio de mercado y has determinado que la demanda de tu producto está relacionada con el precio al que lo vendes. Basado en tus investigaciones, has encontrado que la función de demanda de tu producto es la siguiente: $Q=100$ - 2P. Donde $Q$ representa la cantidad demandada de tu producto y $\mathbf{P}$ representa el precio al que lo vendes. Determinar el precio que maximiza tus ingresos totales. Para ello, se te pide: a. Identificar la función de ingresos totales en términos del precio de tu producto. [ Ingresos Totales $=P\ast \mathrm{Q}$ ] (5 puntso) b. Recuerda mostrar tu proceso de resolución y proporcionar una explicación clara de cómo se llega a la función de ingresos totales y cómo se encuentra el máximo. ( 5 puntos) 4. La función de demanda para el fabricante de un producto es $p=f(q)=200-5q$, donde $p$ es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan $q$ unidades (por semana). a. Identifica la función que maximiza el ingreso total del fabricante. (5 puntos) b. Determina este ingreso. (5 puntos)