Pregunta: Considere el problema de Dirichlet radialmente simétrico (i.e. no hay dependencia con la variable ϕ) ∇2u=∂r2∂2u+r2∂r∂u+r21(∂θ2∂2u+cotθ∂θ∂u)=0 para la región comprendida entre dos cascarones esféricos, el interior con un radio r1 y el exterior de radio r2. Las condiciones de frontera son u(r1,θ)=f1(θ)u(r2,θ)=0. a) Para la parte radial, usa ambas soluciones

Considere el problema de Dirichlet radialmente simétrico (i.e. no hay dependencia con la variable $\varphi )$ ${\nabla }^{2}u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}+\cot \theta \frac{\partial u}{\partial \theta }\right)=0$ para la región comprendida entre dos cascarones esféricos, el interior con un radio $r_1$ y el exterior de radio $r_2$. Las condiciones de frontera son $u\left(r_1,\theta \right)=f_1(\theta )u\left(r_2,\theta \right)=0.$ a) Para la parte radial, usa ambas soluciones $(R=r^n$ y $R^{\ast }=r^{-(n+1)})$, e impón la condición $R\left(r_2\right)=0$ para llegar a la solución $u(r,\theta )={\sum }_{n=0}^{\infty }{A}_n^{\ast }\left[{\left(\frac{r}{r_2}\right)}^n-{\left(\frac{r_2}{r}\right)}^{n+1}\right]P_n(\cos \theta ),$ donde $r_1<r<r_2,0<\theta <\pi ,y{A}_n^{\ast }$ falta determinarlos. Verifica que la condición de frontera $u\left(r_2,\theta \right)=0$ se cumpla. b) La otra condición de frontera implica que $u\left(r_1,\theta \right)=f_1(\theta )={\sum }_{n=0}^{\infty }{A}_n^{\ast }\left[{\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^n-{\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^{n+1}\right]P_n(\cos \theta ).$ Concluye que $A_n^{\ast }\left[{\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^n-{\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^{n+1}\right]=\frac{2n+1}{2}{\int }_0^{\pi }{f}_1(\theta )P_n(\cos \theta )\mathrm{sen}\theta \mathrm{d}\theta$ Determina $A_n^{\ast }$ para completar la solución.