Pregunta: 4. Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de tamaño n de una variable aleatoria X, con densidad fX(x;θ)={e−(x−θ)0θ

4. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$, con densidad $f_X(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}{e}^{-(x-\theta )}& \theta <x<\infty ,-\infty <\theta <\infty \\ 0& \text{ E.O.C }\end{array}$ Determinar el estimador de máxima verosimilitud de $\theta$. Compruebe que es máximo Hint : a) Para la verosimilitud, $\theta$ es menor a todos los valores $x_i$, esto se puede reducir a un estadístico que represente que es menor a todos. b) Maximizar funciones estrictamente crecientes. 5. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$, con densidad $f_X(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}1& \theta -1/2\le x\le \theta +1/2,-\infty <\theta <\infty \\ 0& \text{ E.O.C }\end{array}$ Muestre que todo estadístico $T\left(X_1,X_2,\dots ,X_n\right)=T$ que cumpla que $X_{(n)}-1/2<\le x_i\le X_{(1)}+1/2$ es un estimador de máxima verosimilitud de $\theta$. Hint : Dibuje la densidad y piense en qué punto se maximizaría.