Pregunta: 3. La divergencia (covariante) de un campo vectorial está dada por ∇aVa=∂aVa+ΓabaVb. 3 Muestra que los símbolos de Christoffel satisfacen Γaba=∣g∣1∂b∣g∣. donde det(gab)≡g.Ayuda: observa que los símbolos de Christoffel se reducen a Γaba=21gad∂bgad explica esto y tendras 1 punto extra; de cualquier forma puedes usar este resultado sin probarlo. Ahora, puedes

3. La divergencia (covariante) de un campo vectorial está dada por ${\nabla }_a{V}^a={\partial }_a{V}^a+{\Gamma }_{ab}^a{V}^b.$ 3 Muestra que los símbolos de Christoffel satisfacen ${\Gamma }_{ab}^a=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_b\sqrt{|g|}.$ donde $\det \left(g_{ab}\right)\equiv g$. Ayuda: observa que los símbolos de Christoffel se reducen a ${\Gamma }_{ab}^a=\frac{1}{2}{g}^{ad}{\partial }_b{g}_{ad}$ explica esto y tendras 1 punto extra; de cualquier forma puedes usar este resultado sin probarlo. Ahora, puedes usar el hecho de que la derivada del determinante de la métrica se puede expresar como ${\partial }_{a}g=g{g}^{bc}{\partial }_a{g}_{bc}$ (esto último lo puedes usar sin probar o si quieres probarlo te contará como dos puntos extra). A partir de esto muestra que la divergencia se puede expresar como ${\nabla }_a{V}^a=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_a\left(\sqrt{|g|}{V}^a\right).$ Ahora considera a $V^a$ como las componentes del campo vectorial asociado a la 1-forma gradiente de alguna función $f$, es decir, $V^a=g^{ab}(\mathrm{d}f{)}_b=g^{ab}{\partial }_{b}f.$ Si utilizas esto en la ecuación (16) obtienes una expresión para el Laplaciano ${\nabla }^2=g^{ab}{\nabla }_a{\nabla }_b$ (signatura Euclidiana) o el D'Alembertiano $\square$ (signatura Lorentziana) para cualquier métrica. $(\square f){\nabla }^{2}f=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_a\left(\sqrt{|g|}{g}^{ab}{\partial }_{b}f\right).$