Pregunta: 2. Considera un variedad 2-dimensional con una conexión ∇ definida por los siguientes coeficientes expresados en la base coordenada asociada a {t,x} Γtxt=x1,Γxtt=x1,Γttx=x, siendo todos los demás coeficientes cero. Para los siguientes campos tensoriales Y=t∂t+x∂x,α=t dt+x dx,T=(t−x)∂t⊗dx+(x−t)∂x⊗dt, calcula lo siguiente: a) La derivada covariante respecto a

2. Considera un variedad 2-dimensional con una conexión $\nabla$ definida por los siguientes coeficientes expresados en la base coordenada asociada a $\{t,x\}$ ${\Gamma }_{tx}^t=\frac{1}{x},{\Gamma }_{xt}^t=\frac{1}{x},{\Gamma }_{tt}^x=x,$ siendo todos los demás coeficientes cero. Para los siguientes campos tensoriales $\begin{array}{l}Y=t{\partial }_t+x{\partial }_x,\\ \alpha =t\mathrm{d}t+x\mathrm{d}x,\\ T=(t-x){\partial }_t\otimes \mathrm{d}x+(x-t){\partial }_x\otimes \mathrm{d}t,\end{array}$ calcula lo siguiente: a) La derivada covariante respecto a $\nabla$ del campo vectorial $Y$, de la uno-forma $\alpha$ y del tensor tipo (1,1) $T$, es decir: $\nabla Y,\nabla \alpha$ y $\nabla T$. Recuerda que $(\nabla Y{)}^a{}_b=Y_{;b}^a$ se pueden entender como las componentes del campo tensorial tipo (1,1), es decir, $\nabla Y=Y_{;b}^a{\partial }_a\otimes$ $\mathrm{d}{x}^b$ y que cuando tomamos la dirección especificada por el campo tensorial $X=X^a{\partial }_a$ lo que obtenemos es el campo vectorial ${\nabla }_{X}Y=X^b{\nabla }_b{Y}^a{\partial }_a=X^b{Y}_{ib}^a{\partial }_a$.