Pregunta: 15. Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria de tamaño n de una variable aleatoria X∼Beta(θ,1). 0<θ<∞. (a) Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de θ. (b) Sabiendo por resultados de teoría estadística que W=−∑i=1nln(Xi) cumple que W∼ Gamma(n,1/θ). Encuentre la distribución de Y=2θW. (c) Usando el resultado anterior, encuentre las constantes c1 y c2

15. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X\sim \mathrm{Beta}(\theta ,1)$. $0<\theta <\infty$. (a) Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de $\theta$. (b) Sabiendo por resultados de teoría estadística que $W=-{\sum }_{i=1}^n\ln \left(X_i\right)$ cumple que $W\sim$ $\mathrm{Gamma}(n,1/\theta )$. Encuentre la distribución de $Y=2\theta W$. (c) Usando el resultado anterior, encuentre las constantes $c_1$ y $c_2$ tales que $P\left(c_1\le \frac{2n\theta }{{\bar{\theta }}_{MLE}}\right)=1-\alpha$. (d) Encuentre un intervalo de confianza del $(1-\alpha )100\%$ para $\theta$. Hint : $Y\sim {\chi }^2(2n)$. 16. Sea $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X\sim N(\mu ,\theta )$. $0<\theta <\infty$. Asumiendo $\mu$ un parámetro conocido. Y siendo $S^2$ la varianza muestral y además el estimador insesgado de $\theta$ (a) Cuál es la eficiencia de $S^2$ (b) Bajo las condiciones del ejercicio cuál es el ${\hat{\theta }}_{MLE}$ de $\theta$ (c) Cuál es la distribución asintótica de $\sqrt{n}\left({\hat{\theta }}_{MLE}-\theta \right)$. Hint : Revise el teorema de student.