10. Sean V y W espacios normados. Sea L(V,W) el conjunto de todos los operadores lineales y acotados de V en W. Si T y S están en L(V,W),T+S y αT se definen por (T+S)u=Tu+Su para cada u∈V y (αT)u=αTu para todo α∈R a) Pruebe que L(V,W) es un espacio vectorial normado, con la norma, ∥T∥=supu=0∥u∥V∥Tu∥W,∀u∈V. b) Si W es un espacio de Banach, pruebe que L(V,W)

Para probar el inciso a) debemos verificar todas las condiciones de un espacio vectorial normado. Pri...

Resuelto 10. Sean V y W espacios normados. Sea L(V,W) el

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Pregunta: 10. Sean V y W espacios normados. Sea L(V,W) el conjunto de todos los operadores lineales y acotados de V en W. Si T y S están en L(V,W),T+S y αT se definen por (T+S)u=Tu+Su para cada u∈V y (αT)u=αTu para todo α∈R a) Pruebe que L(V,W) es un espacio vectorial normado, con la norma, ∥T∥=supu=0∥u∥V∥Tu∥W,∀u∈V. b) Si W es un espacio de Banach, pruebe que L(V,W)
Pregunta 10

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Para probar el inciso a) debemos verificar todas las condiciones de un espacio vectorial normado.

Pri...
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10. Sean

V

W

espacios normados. Sea

L (V, W)

el conjunto de todos los operadores lineales y acotados de

V

W

. Si

T

S

están en

L (V, W), T + S

α T

se definen por

(T + S) u = T u + S u

para cada

u \in V

(α T) u = α T u

para todo

α \in R

a) Pruebe que

L (V, W)

es un espacio vectorial normado, con la norma,

∥ T ∥ = sup_{u \neq = 0} \frac{∥ T u ∥ _{W}}{∥ u ∥ _{V}}, \forall u \in V .

b) Si

W

es un espacio de Banach, pruebe que

L (V, W)

también es un espacio de Banach.