Pregunta: 1. It is well known that π = 4arctan(1). One way to approximate this value is to use the Taylor series obtain, through the changes of variables esu = tan alpha*v yutan ẞ the following expression arctan(u) +

CADA PREGUNTA TIENE UN VALOR de 1 punto. 1. Es bien conocido que $\pi =4$ arctan(1). Una forma de aproximar dicho valor es usar la serie de Taylor $\arctan (x)={\sum }_{k=1}^{\infty }(-1{)}^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{2k-1},$ sin embargo, se requieren de bastantes términos para tener una buena estimación de $\pi$. a) A partir de la fórmula $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan (\alpha )\tan (\beta )}$ obtenga, mediante los cambios de variables $u=\tan \alpha$ y $v=\tan \beta$ la siguiente expresión $\arctan u+\arctan v=\arctan \left(\frac{u+v}{1-uv}\right)$ b) Si $u=1/2$ y $v=1/3$ se observa que $\pi$ puede aproximarse con menos términos de la suma de la serie de Taylor. Encuentre los términos necesarios de la serie para estimar $\pi /4$ tal que el error sea menor a $ϵ=0.5\times 10^{-4}$.