Pregunta: 1. Una máquina de producción tiene dos partes cruciales que están sujetas a fallas. Las dos partes son idénticas. La máquina funciona mientras una de las dos partes esté funcionando. Se realiza una reparación cuando ambas partes han fallado. Una reparación toma un día y después de cada reparación el sistema está como nuevo. Una inspección al comienzo de cada

1. Una máquina de producción tiene dos partes cruciales que están sujetas a fallas. Las dos partes son idénticas. La máquina funciona mientras una de las dos partes esté funcionando. Se realiza una reparación cuando ambas partes han fallado. Una reparación toma un día y después de cada reparación el sistema está como nuevo. Una inspección al comienzo de cada día revela el estado exacto de cada pieza. Si al comienzo de un día ambas partes están en buenas condiciones, entonces al final del día ambas partes todavía están en buenas condiciones con probabilidad 0 . 50, uno de ellos se descompone con probabilidad 0 . 25 y ambos se descomponen con probabilidad 0 . 25. Si al comienzo del día solo una parte está en buenas condiciones, esta parte todavía está en buenas condiciones al final del día con probabilidad 0 . 50. Defina una cadena de Markov para describir el funcionamiento de la máquina y especifique las probabilidades de transición de un paso.

22. Los contenedores se almacenan temporalmente en un patio de almacenamiento con amplia capacidad. Al comienzo de cada día llega precisamente un contenedor al patio de almacenamiento. Cada contenedor permanece una cierta cantidad de tiempo en el patio de almacenamiento antes de ser retirado. Los tiempos de residencia de los contenedores son independientes entre sí. Especifique para cada uno de los dos casos siguientes la(s) variable(s) de estado y las probabilidades de transición de un paso de una cadena de Markov que se pueden utilizar para analizar el número de contenedores presentes en el depósito al final de cada día.

a) El tiempo de residencia de un contenedor se distribuye exponencialmente con una media de 1 /µ días.

b) El tiempo de residencia de un contenedor tiene una distribución exponencial cuya media es 1 /µ 1 días con probabilidad p y es 1 /µ 2 días con probabilidad 1 − p .

3) Dos equipos, A y B , se enfrentan en una serie de juegos hasta que cualquiera de los equipos haya ganado tres juegos seguidos. Cada juego da como resultado una victoria para cualquiera de los equipos (no es posible un empate). Los resultados de los juegos son independientes entre sí. Defina una Cadena de Markov apropiada para determinar la distribución de probabilidad de la duración del partido cuando los dos equipos son igualmente fuertes.

4) Los carros llegan a una gasolinera según un proceso de Poisson con un promedio de 10 clientes por hora. Un automóvil ingresa a la estación solo si hay menos de otros cuatro automóviles presentes. La estación de gasolina tiene una sola bomba. La cantidad de tiempo requerido para atender un automóvil tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos.

a) Formule una cadena de Markov en tiempo continuo para analizar la situación de la gasolinera. Especifique el diagrama de estado.

b) Resuelva las ecuaciones de equilibrio.

5) En Gotham City hay una compañía de taxis de un solo hombre. La compañía de taxis tiene un puesto en la estación de tren. Los clientes potenciales llegan según un proceso de Poisson con un promedio de cuatro clientes por hora. El taxi sale de la estación en cuanto llega un cliente. Un cliente potencial que no encuentra un taxi presente espera hasta que llegue el taxi solo si hay menos de otros tres clientes esperando; de lo contrario, el cliente va a otro lugar para un transporte alternativo. Si el taxi regresa a la parada y encuentra clientes esperando, recoge a todos los clientes que esperan y se va. La cantidad de tiempo necesario para volver al puesto tiene una distribución exponencial con media 1 /µ i cuando el taxi sale del puesto con i clientes, i = 1 , 2 , 3.

a) Formule una Cadena de Markov en tiempo continuo para analizar la situación en la parada de taxis. Especifique la(s) variable(s) de estado y el diagrama de tasa de transición.

b) ¿Cuál es la fracción de tiempo a largo plazo que el taxi espera inactivo en la parada de taxis?

c) ¿Cuál es la fracción a largo plazo de clientes potenciales que van a otra parte para el transporte?