Pregunta: Y es una variable aleatoria que vale uno cuando un individuo va a la universidad y cero cuando no va a la universidad. X es otra variable aleatoria que captura el cuartil del individuo en la distribución del ingreso. Específicamente, X = 1 si el individuo está en el primer cuartil de ingresos (el más bajo), y los valores 2, 3 y 4 indican los siguientes 3

Y es una variable aleatoria que vale uno cuando un individuo va a la universidad y cero cuando no va a la universidad. X es otra variable aleatoria que captura el cuartil del individuo en la distribución del ingreso. Específicamente, X = 1 si el individuo está en el primer cuartil de ingresos (el más bajo), y los valores 2, 3 y 4 indican los siguientes 3 cuartiles, respectivamente. La distribución conjunta de X e Y es la siguiente.

X = 1 X = 2 X = 3 X = 4

Y = 0 6/30 8/30 4/30 2/30

Y = 1 1/30 2/30 4/30 3/30

(a) ¿Cuál es la probabilidad marginal de X? ¿Cuál es la media de X? ¿Cuál es la varianza de X?

(b) ¿Cuál es la probabilidad marginal de Y? ¿Cuál es la media de Y? ¿Cuál es la varianza de Y?

(c) ¿Cuál es la probabilidad condicional de Y = 0 dado X = 2?

(d) ¿Cuál es la distribución de Y condicionada a X = 2, es decir, cuál es la probabilidad de cada resultado posible de Y condicionada a X = 1? ¿Cuál es la distribución de Y condicionada a que X = 2? ...y en X = 3 y en X = 4? ¿Cuál es la distribución de X condicionada a que Y = 0?

(e) ¿Cuál es el valor medio de X condicionado a que Y = 0? Este valor se llama media condicional de X (dado Y = 0).

(f) ¿Cuál es la varianza de X condicionada a que Y = 0? Este valor se llama varianza condicional de X (dado Y = 0).

(g) ¿Indica la distribución conjunta que el cuartil de ingreso medio es mayor para los individuos que asisten a la universidad o para los que no? ¿Indica esto que la distribución del cuartil de ingresos está más "dispersa" para los individuos que asisten a la universidad o para los que no? Explique.

(h) ¿Qué es la covarianza de X e Y? ¿Cuál es la correlación de X e Y? ¿Son X e Y independientes?

(i) Proporcione una nueva distribución conjunta de X e Y tal que tengan una probabilidad estrictamente positiva de cada par de resultados y que X e Y sean independientes. Demuestre que, dada la nueva función de distribución conjunta, X e Y son independientes.

(j) ¿Qué distribución conjunta coincide más con su intuición: la original que figura a continuación o la nueva que usted proporcionó? ¿Por qué? ¿Sospechas que X causa Y, o que Y causa X, o ambas cosas?