Resuelto y(4)−y′′=cosx+ex,y(0)=y′(0)=y′′(0)=0y′′′(0)=1

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Pregunta: y(4)−y′′=cosx+ex,y(0)=y′(0)=y′′(0)=0y′′′(0)=1
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Solución
Paso 1
empezamos resolviendo la ecuación homogenea

$\begin{matrix} \begin{aligned} a_{0} y^{n} + a_{1} y^{n - 1} + \dots \dots \dots . . + a_{n - 1} y^{'} + a_{n} y & = 0 \\ λ^{4} - λ x^{2} & = 0 \\ λ^{2} (λ - 1) (λ + 1) & = 0 \\ factoramos \mapsto & λ^{2} (λ - 1) (λ + 1) = 0 \end{aligned} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{aligned} (λ - 1) = 0 \mapsto λ_{1} = 1 & = k = 1; τ : C_{1} e^{x} \\ (λ + 1) = 0 \mapsto λ_{2} = - 1 & = k = 1; τ : C_{2} e^{- x} \\ λ^{2} = 0 \mapsto λ_{3, 4} = 0 & = k = 2; τ : C_{3} x + C_{4} \\ con k & = multiplicidad de la raiz \\ con T a u & = suma de la raiz \end{aligned} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{aligned} y & = \sum [P_{k - 1} (x) e^{α x} s e n (β x) + Q_{k - 1} (x) e^{α x} \cos (β x)] \\ con λ & = α \pm β i \\ y P_{k - 1} (x) (, Q_{k - 1} (x) \mapsto & = C_{1} + \dots \dots + C_{k} x^{k - 1} \\ Solución de ecuaciones homogéneas \\ y & = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} + C_{3} x + C_{4} \end{aligned} \end{matrix}$

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y^{(4)} - y^{''} = cos x + e^{x}, y (0) = y^{'} (0) = y^{''} (0) = 0 y^{'''} (0) = 1