Utilice el método del multiplicador de Lagrange para resolver el siguiente problema: una partícula en un campo gravitacional uniforme puede moverse libremente sin fricción en un paraboloide de revolución cuyo eje de simetría es vertical (apertura hacia arriba). Obtenga la fuerza de restricción. Demuestre que para una energía y un momento angular dados con

Usamos coordenas cilíndricas: El Lagrangiano de la partícula es: la ecuación de reestricción es:

Resuelto Utilice el método del multiplicador de Lagrange para

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Pregunta: Utilice el método del multiplicador de Lagrange para resolver el siguiente problema: una partícula en un campo gravitacional uniforme puede moverse libremente sin fricción en un paraboloide de revolución cuyo eje de simetría es vertical (apertura hacia arriba). Obtenga la fuerza de restricción. Demuestre que para una energía y un momento angular dados con
Utilice el método del multiplicador de Lagrange para resolver el siguiente problema: una partícula en un campo gravitacional uniforme puede moverse libremente sin fricción en un paraboloide de revolución cuyo eje de simetría es vertical (apertura hacia arriba). Obtenga la fuerza de restricción. Demuestre que para una energía y un momento angular dados con respecto al eje de simetría, hay una altura mínima y máxima a la que se desplazará la partícula.
Intenta enfocarte en un paso a la vez. ¡Tú puedes!
Solución
Paso 1
Usamos coordenas cilíndricas:

$\begin{matrix} \begin{aligned} x & = r \cos (θ) \\ y & = r \sin (θ) \\ z & = z \end{aligned} \end{matrix}$

El Lagrangiano de la partícula es:

$\begin{aligned} L (r, θ, z) & = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - m g z \end{aligned}$

la ecuación de reestricción es:
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Respuesta
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