Pregunta: Usa coordenadas cilíndricas para encontrar el volumen del sólido. El sólido que está limitado arriba y abajo por la esfera x^2+y^2+z^2=9 y dentro del cilindro x^2+y^2=4. Me preguntaba si alguien podría revisar mi trabajo. ∫ de 2π a 0 ∫ de 2 a 3 ∫ de -sqrt(9-r^2) a +sqrt(9-r^2) r dz dr dθ. Esto es lo que tengo, pero no estoy seguro de que ∫ de 2 a 3 sea la

Usa coordenadas cilíndricas para encontrar el volumen del sólido. El sólido que está limitado arriba y abajo por la esfera x^2+y^2+z^2=9 y dentro del cilindro x^2+y^2=4.

Me preguntaba si alguien podría revisar mi trabajo.

∫ de 2π a 0 ∫ de 2 a 3 ∫ de -sqrt(9-r^2) a +sqrt(9-r^2) r dz dr dθ.

Esto es lo que tengo, pero no estoy seguro de que ∫ de 2 a 3 sea la parte porque la esfera tiene un radio mayor que el cilindro. La esfera tiene un radio de 3 y el cilindro tiene un radio de 2. ¿Debo separar integrales para los diferentes radios y sumarlas o restarlas?

x^2+y^2=4

r^2=4

r=2

z^2=9-x^2-y^2

z=±√(9-x^2-y^2)

z=±√(9-r^2)

∫ de 2π a 0 ∫ de 2 a 3 ∫ de -sqrt(9-r^2) a +sqrt(9-r^2) r dz dr dθ.

interior: ∫ de -sqrt(9-r^2) a +sqrt(9-r^2) r dz dr

∫ rz( z =+sqrt(9-r^2), z=-sqrt(9-r^2))dr

∫ r[(cuadrado(9-r^2)) - (-cuadrado(9-r^2))] dr

∫ r[2(sqrt(9-r^2)) dr

próximo:

2 ∫ de 2 a 3 r(sqrt(9-r^2) dr dθ

u=9-r^2

du=-2r dr

-(1/2)du=r dr

2(-1/2) ∫ (sqrt(u) du dθ

-1 (2/3)u^(3/2) dθ

-(2/3) (9-r^2)^(3/2) (r=3, r=2) dθ

-(2/3) (9-(3)^2 - 9-(2)^2]^(3/2) dθ

-(2/3) [(0)-(5)]^(3/2) dθ

-(2/3) ((0)^(3/2)-(5)^(3/2)) dθ

-(2/3) ((0)-(5(sqrt(5)) dθ

(2/3)(5(sqrt(5)) dθ

(10(sqrt(5))/3 dθ

exterior:

(10(sqrt(5))/3 dθ∫ de 0 a 2π d θ

(10(sqrt(5))/3 θ=2π, θ=0

(20(raíz(5))π/3

Gracias de antemano.