Pregunta: (No-unicidad de la extensión de una pre-medida que no es σ-finita.) En R, considere el álgebra Booleana A que constade aquellos conjuntos que son uniones finitas de intervalos semiabiertos de la forma [a,b). Definimos ρ:Alongrightarrow[0,∞]haciendo y ρ(A)=∞ siempre que A≠O?.(a) Demuestre que ρ es una pre-medida.(b) Demuestre que la familia de

$($No$-$unicidad de la extensi$ó$n de una pre$-$medida que no es $\sigma -$finita.$)$ En $R,$ considere el $á$lgebra Booleana A que consta

de aquellos conjuntos que son uniones finitas de intervalos semiabiertos de la forma $[a,b).$ Definimos $\rho$:Alongrightarrow$[0,\infty ]$

haciendo y $\rho (A)=\infty$ siempre que $A\ne \frac{O}{?}.$

$($a$)$ Demuestre que $\rho$ es una pre$-$medida.

$($b$)$ Demuestre que la familia de subconjuntos de Borel, $B(R),$ es la m$í$nima $\sigma -á$lgebra que contiene a $A.$

$($c$)$ Demuestre que la extensi$ó$n de Hahn$-$Kolmogorov $\mu$:$B(R)longrightarrow[0,\infty ]$ de $\rho$ es simplemente y $\mu (A)=\infty$

para todo AinB$(R).$

$($d$)$ Demuestre que la medida del conteo es otra extensi$ó$n de $\rho$ a $B(R).$

$($e$)$ Encuentre un elemento AinB$(R)$ en el cual las medidas de los incisos $($c$)$ y $($d$)$ sean distintas.