Pregunta: Una variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson con un parámetro λ, sea F(x) = P(X ≤x) y p(x) = P(X = x). (a) Demuestre que la función de probabilidad satisface p(x + 1) = λ (x + 1) p(x). (b) Usando la parte (a) escriba una función en RStudio para calcular p(x) para cualquier x = 0,1,2,··· . (c) Utilizando la parte (b), escriba una función en

Una variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson con un parámetro λ, sea F(x) =
P(X ≤x) y p(x) = P(X = x).
(a) Demuestre que la función de probabilidad satisface p(x + 1) = λ
(x + 1) p(x).
(b) Usando la parte (a) escriba una función en RStudio para calcular p(x) para cualquier x = 0,1,2,··· .
(c) Utilizando la parte (b), escriba una función en RStudio para calcular F(x) para cualquier x = 0,1,2,··· .
(d) Puede simular X usando el siguiente formato del programa:
F.rand = función () {
u = ejecutar si (1)
x = 0
mientras que (F(x) < u) {
x = x + 1
}
volver(x)
}
En el caso de la distribución de Poisson, este programa se puede hacer más eficiente mediante
calcular F solo una vez, en lugar de volver a calcularlo cada vez que llama a la función
F(x). Usando dos nuevas variables, px y Fx para p(x) y F(x) respectivamente,
modifique este programa para que en lugar de usar la función F(x) actualice px y
Fx dentro del bucle while. Su programa debe tener la forma

F.rand = función (x, lambda) {
u = ejecutar si (1)
x = 0
px = ?
Fx = ?
mientras (Fx < u) {
x = x + 1
px = ?
Fx = ?
}
volver(x)
}
(e) Genere una muestra aleatoria con tamaño 100000 para la variable aleatoria X que sigue una distribución de Poisson con un parámetro λ = 5 usando el programa escrito
en (d).
(f) Trace un histograma de probabilidad para la muestra generada en (e) junto con el
función de masa de probabilidad exacta con un parámetro λ = 5 usando líneas conectadas.