Pregunta: Una variable aleatoria se dice simétrica si, para cualquier intervalo a ≤ b, PAGS(a ≤ X ≤ b) = PAGS(−b ≤ X ≤ −a). (a) Suponga que P(X = x) = 0 para todo x ∈ R. Demuestre que X es simétrica si y solo si FX(a) + FX(−a) = 1 para todo a ∈ R. [Sugerencia: para mostrar que la simetría implica esta condición, sea b ↑ +∞ en la definición de simetría.] (b) Si X es

Una variable aleatoria se dice simétrica si, para cualquier intervalo a ≤ b,

PAGS(a ≤ X ≤ b) = PAGS(−b ≤ X ≤ −a).

(a) Suponga que P(X = x) = 0 para todo x ∈ R. Demuestre que X es simétrica si y solo si FX(a) + FX(−a) = 1 para todo a ∈ R. [Sugerencia: para mostrar que la simetría implica esta condición, sea b ↑ +∞ en la definición de simetría.]

(b) Si X es simétrica y tiene una densidad continua fX, demuestre que la variable aleatoria Y = X2 tiene una densidad dada por fY (x) = fX( √ x) √ x , x > 0 y fY (x) = 0 para x < 0. [Sugerencia: calcule FY (x) en términos de FX, simplifique usando la parte (a) y diferencie.]

(c) Suponga que X es una variable aleatoria normal estándar: fX(x) = √ 1 2π e −x 2/2 . ¿Cuál es la densidad de X2?