Pregunta: Una empresa fabrica 4 variantes de un mismo producto y durante el proceso de fabricación se realizan 3 tipos de operaciones: ensamblaje, pulido y empaque. Para cada variante, el número de minutos necesarios para estas operaciones se muestra a continuación. También se proporciona en la tabla la ganancia por unidad (en dólares) vendida para cada variante.

Una empresa fabrica 4 variantes de un mismo producto y durante el proceso de fabricación se realizan 3 tipos de operaciones: ensamblaje, pulido y empaque. Para cada variante, el número de minutos necesarios para estas operaciones se muestra a continuación. También se proporciona en la tabla la ganancia por unidad (en dólares) vendida para cada variante. Beneficio del paquete de pulido de ensamblaje

Beneficio del paquete de pulido de ensamblaje

Variante 1 2 3 2 1,5

Variante 2 4 2 3 2.5

Variante 3 3 3 2 3

Variante 4 7 4 5 4.5

El estado actual de la mano de obra proporciona 100000 minutos de tiempo de montaje, 50000 minutos de tiempo de pulido y 60000 minutos de tiempo de embalaje. ¿Cuántos de cada variante debe producir la empresa cada año para maximizar la utilidad total? Como sería un insulto en este punto pedirle que modele este problema simple, también proporcionamos a continuación el modelo de programación lineal correspondiente.

max 1.5x1 + 2.5x2 + 3x3 + 4.5x4 st 2x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 ≤ 100000 (Montaje)

3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 50000 (polaco)

2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 ≤ 60000 (Paquete)

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

x5, x6 y x7 son las variables de holgura añadidas a las restricciones. La matriz inversa correspondiente a la base óptima B se le proporciona como

segundo −1 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 3/5 − 2/ 5

1 − 1/5 − 6/5

0 − 2/5 3/5 ⎞ ⎟ ⎠

El informe de sensibilidad de Excel es el siguiente:

Variable Valor Final Costo Reducido Obj. coef. Permitir. Incr. Permitir. Decr.

x1 0 −1,5 1,5 1,5 1E + 30

x2 16000 0 2,5 2 0,14286

x3 6000 0 3 0,75 0,5

x4 0 −0,2 4,5 0,2 1E + 30

Restricción Valor final Precio sombra Valor RHS Permitido. Incr. Permitir. Dic

Montaje Total 82000 0 100000 1E + 30 18000

Total polaco 50000 0,8 50000 40000 10000

Paquete Total 60000 0.3 60000 15000 26666.67

(a) ¿Cuál es la solución óptima y el valor óptimo?

(b) ¿Qué variables son las variables básicas en el bfs óptimo correspondiente a la forma estándar LP? ¿Cómo puede obtener esta información de los datos del informe de sensibilidad?

(c) Construya la base óptima B. (Sugerencia: no es necesario tomar inversas)

(d) Proporcione el rango de valores de beneficio para la Variante 2 y los valores de RHS para pulir de manera que la base actual siga siendo óptima. (e) ¿Cuál será el nuevo valor óptimo si el número de minutos de embalaje disponibles aumenta en 100 minutos?

(f) ¿Cambiará la solución óptima si el número de minutos de pulido desciende a 40000? Si es así, ¿cuál es la nueva solución óptima y el nuevo valor óptimo?

(g) Si tuviera la oportunidad de contratar otros 10000 minutos de mano de obra, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar por esta mano de obra? ¿Cambiará el valor óptimo? Si es así, proporcione este nuevo valor.

(h) Si tuviera que reducir su fuerza laboral y disminuir el valor de 10000 minutos de trabajo, ¿qué tipo de fuerza laboral elegiría dejar ir y por qué? ¿Cuál será la solución óptima y el valor óptimo con este cambio?

(i) Construya el cuadro óptimo en su totalidad. Indique (cuando sea posible) cómo obtener cada dato en el cuadro óptimo de la salida de Excel. (j) Si el beneficio unitario de la primera variante aumenta a 3 dólares, ¿qué se puede decir sobre el nuevo cuadro? Elija uno de los siguientes casos: 1. Tiene una única solución óptima. ¿Cuál es esta solución óptima? 2. Tiene soluciones óptimas alternativas. Proporcione el conjunto de soluciones óptimas. 3. No es óptimo. Encuentre la nueva solución óptima y el valor óptimo.

(k) Construya el PL dual. Encuentre su solución óptima y su valor óptimo. (l) ¿Puede argumentar usando SDT que la solución que encontró en la parte (k) es dual óptima? ¿Por qué o por qué no? (m) La empresa está considerando lanzar una nueva variante que tendrá una utilidad por unidad de 5 dólares y requerirá 1 minuto por unidad de cada tipo de operación. ¿Debería la empresa lanzar este producto? ¿Por qué o por qué no? (n) Suponga que para hacer que las variantes sean más lujosas, la empresa necesita gastar más tiempo de acabado y el tiempo total de trabajo de acabado disponible que la empresa puede ahorrar es de 10000 minutos. Suponga que cada variante requiere 1 minuto por unidad de este tiempo de finalización. ¿Seguirá siendo óptima la solución actual? Si no, ¿cómo encontraría la nueva solución óptima? ¿Qué método símplex aplicaría y por qué? ¿Cuál es la variable de entrada y la variable de salida?