Pregunta: Una ecuación que gobierna el movimiento de un sistema masa-resorte es (1) my" + by' + ky = Fext(t), donde m es la masa, b es el coeficiente de amortiguamiento debido a la fuerza de fricción, k es la rigidez del resorte, y Fext(t) representa la influencia de fuerzas externas al sistema. En la primera parte de este proyecto, asumimos que no hay fuerzas

Una ecuación que gobierna el movimiento de un sistema masa-resorte es (1) my" + by' + ky = Fext(t), donde m es la masa, b es el coeficiente de amortiguamiento debido a la fuerza de fricción, k es la rigidez del resorte, y Fext(t) representa la influencia de fuerzas externas al sistema. En la primera parte de este proyecto, asumimos que no hay fuerzas externas, por lo que la ecuación (1) es homogénea. El escenario más simple es cuando no hay amortiguamiento (fricción) presente; entonces b = 0 y tenemos (2) my" + ky = 0.

Problema 1. Resuelva la ED (2) sujeta a las condiciones iniciales y(0) = y0 y y'(0) = v0 para obtener la ecuación de movimiento para cualquier sistema masa-resorte libre y no amortiguado. Sea ω la expresión sqrt(k/m). (Tu respuesta debe ser una función de t que involucre las constantes no especificadas y0, v0, ω). Usa el resultado para encontrar la ecuación de movimiento para un sistema con masa m = 1 y constante de resorte k = 64 liberado desde el reposo 1 unidad para la derecha de la posición de equilibrio. Dibuja la gráfica de tu ecuación. En muchos sistemas, queremos minimizar el movimiento oscilatorio de las soluciones (piense en los amortiguadores de su automóvil, puentes, etc.). Las soluciones tienden a cero más rápidamente cuando el sistema está críticamente amortiguado; esto ocurre cuando el discriminante b^2−4mk de la ecuación auxiliar para (1) es igual a cero.

Problema 2. Para el sistema descrito en el Problema 1 (es decir, con masa m = 1 y constante de resorte k = 64), determine el valor del coeficiente de amortiguamiento b para que el sistema esté críticamente amortiguado. Luego sustituya los valores conocidos m, b y k en (1) con Fext(t) = 0 y resuelva la ED resultante para determinar la ecuación de movimiento para el sistema críticamente amortiguado, suponiendo nuevamente que la masa se libera desde el reposo 1 unidad a la derecha de la posición de equilibrio. Dibuja la gráfica de tu ecuación.

Consideremos ahora el caso en el que una fuerza externa periódica actúa sobre el sistema masa-resorte. Ignoraremos la fricción y tomaremos el coeficiente de amortiguamiento b = 0. Esto conduce a la DE (3) my" + ky = F cos(λt), donde F es la amplitud de la fuerza externa y λ es la frecuencia de fuerza. Suponemos primero que λ ≠ ω = sqrt(k/m)

Problema 3. (2 puntos) Utilizar el método de los coeficientes indeterminados y la solución homogénea de la primera parte del Problema 1 para resolver la ED (3) sujeta a las condiciones iniciales y(0) = 0 y y'(0) = 0 (Su respuesta debe ser una función de t que involucra las constantes F, m, k, λ, ω.) Ahora examinamos el caso donde la frecuencia forzada λ es igual a la frecuencia natural ω, lo que resulta en el fenómeno de resonancia: ( 4) mi" + ky = F cos(ωt)

Problema 4. (2 puntos) Utilizar el método de los coeficientes indeterminados y la solución homogénea de la primera parte del Problema 1 para encontrar la solución general de la ED (4). (Sugerencia: use el hecho de que ω^2 = k/m para cancelar los términos después de sustituir las derivadas en la ecuación). ¿Qué sucede con la amplitud de las oscilaciones cuando t → ∞?