Pregunta: Transformadas de Laplace En los últimos capítulos hemos visto varias formas de utilizar la integración para resolver problemas del mundo real. Para el siguiente proyecto, vamos a explorar una aplicación más avanzada de la integración: las transformadas integrales. En concreto, describimos la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades. La

Transformadas de Laplace En los últimos capítulos hemos visto varias formas de utilizar la integración para resolver problemas del mundo real. Para el siguiente proyecto, vamos a explorar una aplicación más avanzada de la integración: las transformadas integrales. En concreto, describimos la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades. La transformada de Laplace se utiliza en ingeniería y física para simplificar los cálculos necesarios para resolver algunos problemas. Toma funciones expresadas en términos de tiempo y las transforma en funciones expresadas en términos de frecuencia. Resulta que, en muchos casos, los cálculos necesarios para resolver problemas en el ámbito de la frecuencia son mucho más sencillos que los requeridos en el ámbito del tiempo. La transformada de Laplace se define en términos de una integral como $L\{f(t)\}=F(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt.$ Tenga en cuenta que la entrada de una transformada de Laplace es una función del tiempo, $f(t)$, y la salida es una función de la frecuencia, $F(s)$. Aunque muchos ejemplos del mundo real requieren el uso de números complejos (que implican el número imaginario $i=\sqrt{-1}$ ), en este proyecto nos limitamos a funciones de números reales. Empecemos con un ejemplo sencillo. Aquí calculamos la transformada de Laplace de $f(t)=t$. Tenemos $L\{t\}={\int }_0^{\infty }t{e}^{-st}dt$ Esta es una integral impropia, por lo que la expresamos en términos de un límite, lo que da $L\{t\}={\int }_0^{\infty }t{e}^{-st}dt={\lim }_{z\to \infty }{\int }_0^{z}t{e}^{-st}dt$ Ahora utilizamos la integración por partes para evaluar la integral. Observe que estamos integrando con respecto a $t$, por lo que tratamos la variable $s$ como una constante. Tenemos $\begin{array}{rlrl}u& =t& dv& =e^{-st}dt\\ du& =dt& v& =-\frac{1}{s}{e}^{-st}.\end{array}$ Entonces obtenemos $\begin{array}{rl}\underset{z\to \infty }{\lim }{\int }_0^{z}t{e}^{-st}dt& =\underset{z\to \infty }{\lim }\left[{\left[-\frac{t}{s}{e}^{-st}\right]|}_0^z+\frac{1}{s}{\int }_0^z{e}^{-st}dt\right]\\ & =\underset{z\to \infty }{\lim }\left[\left[-\frac{z}{s}{e}^{-sz}+\frac{0}{s}{e}^{-0s}\right]+\frac{1}{s}{\int }_0^z{e}^{-st}dt\right]\\ & =\underset{z\to \infty }{\lim }\left[\left[-\frac{z}{s}{e}^{-sz}+0\right]-{\frac{1}{s}\left[\frac{e^{-st}}{s}\right]|}_0^z\right]\\ & =\underset{z\to \infty }{\lim }\left[\left[-\frac{z}{s}{e}^{-sz}\right]-\frac{1}{s^2}\left[e^{-sz}-1\right]\right]\\ & =\underset{z\to \infty }{\lim }\left[-\frac{z}{s{e}^{sz}}\right]-\underset{z\to \infty }{\lim }\left[\frac{1}{s^2{e}^{sz}}\right]+\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{1}{s^2}\\ & =0-0+\frac{1}{s^2}\\ & =\frac{1}{s^2}\end{array}$ 1. Calcule la transformada de Laplace de $f(t)=1$. 2. Calcule la transformada de Laplace de $f(t)=e^{-3t}$. 3. Calcule la transformada de Laplace de $f(t)=t^2$. (Observe que tendrá que integrar por partes dos veces). Las transformadas de Laplace se utilizan a menudo para resolver ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales no se tratan en detalle hasta más adelante en este libro; pero, por ahora, veamos la relación entre la transformada de Laplace de una función y la transformada de Laplace de su derivada. Comencemos con la definición de la transformada de Laplace. Tenemos $L\{f(t)\}={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt={\lim }_{z\to \infty }{\int }_0^z{e}^{-st}f(t)dt$ 4. Utilice la integración por partes para evaluar ${\lim }_{z\to \infty }{\int }_0^z{e}^{-st}f(t)dt$. (Supongamos que $u=f(t)$ y $dv=e^{-st}dt$.) Después de integrar por partes y evaluar el límite, debería ver que $L\{f(t)\}=\frac{f(0)}{s}+\frac{1}{s}\left[L\left\{f^{\prime }(t)\right\}\right].$ Entonces, $L\left\{f^{\prime }(t)\right\}=sL\{f(t)\}-f(0).$ Por lo tanto, la diferenciación en el ámbito del tiempo se simplifica a la multiplicación por $s$ en el ámbito de la frecuencia. Lo último que vemos en este proyecto es cómo las transformadas de Laplace de $f(t)$ y su antiderivada están relacionadas. Supongamos que $g(t)={\int }_0^{t}f(u)du$. Entonces, $L\{g(t)\}={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt={\lim }_{z\to \infty }{\int }_0^z{e}^{-st}g(t)dt$ 5. Utilice la integración por partes para evaluar ${\lim }_{z\to \infty }{\int }_0^z{e}^{-st}g(t)dt$. (Supongamos que $u=g(t)$ y $dv=e^{-st}dt$. Por cierto, observe que hemos definido $g(t)$, $du=f(t)dt$.) Como es de esperar, debería ver que $L\{g(t)\}=\frac{1}{s}.L\{f(t)\}.$ La integración en el ámbito del tiempo se simplifica a la división por $s$ en el ámbito de la frecuencia.