Pregunta: Transformaciones lineales. Para integrales dobles, el método de sustitución§5.5 Se puede actualizar a un "Cambio de variables" o "Cambio de coordenadas" más general. Conversión a coordenadas polares§15.3 es un ejemplo de una transformación no lineal. Una transformación lineal de las variables(x,y) A las variables(u,v) es un par de

Transformaciones lineales. Para integrales dobles, el m$é$todo de sustituci$ó$n$\S 5\mathrm{.}5$ Se puede actualizar a un "Cambio de variables" o "Cambio de coordenadas" m$á$s general. Conversi$ó$n a coordenadas polares$\S 15\mathrm{.}3$ es un ejemplo de una transformaci$ó$n no lineal. Una transformaci$ó$n lineal de las variables$(x,y)$ A las variables$(u,v)$ es un par de ecuacionesx$=a*u+b*vy=c*u+d*v,$ d$ó$nde$a,b,c,d$ son constantes que determinan la transformaci$ó$n$.$ La transformaci$ó$n describe una correspondencia uno a uno entre laxy $-$avi$ó$n y eluv $-$avi$ó$n siempre quead$-bc\ne 0.$ Por lo tanto, cualquier regi$ó$n$R$ en elxy $-$El plano se transforma en una regi$ó$n$D$ en eluv $-$plano. Ejemplo: Consideremos la transformaci$ó$n linealx$=\frac{3}{2}u-\frac{1}{2}v,y=$ Debido a que el $á$rea cambia bajo una transformaci$ó$n$,$ la f$ó$rmula de cambio de variables NECESITA un t$é$rmino llamado "Jacobiano", que ajusta el tama$ñ$o dedA En la integral doble, el t$é$rmino de correcci$ó$n de $á$rea$|ad-bc|$ Se utiliza as$í.{\iint }_{R}f(x,y)dA={\iint }_{D}f(au+bv,cu+dv)*|ad-bc|dA$ Una estrategia com$ú$n es elegir una transformaci$ó$n adecuada para que la regi$ó$n$D$ es un rect$á$ngulo$.$ En el ejemplo anterior, el jacobiano es igual a $2,5.$ Por lo tanto, la f$ó$rmula nos permite evaluar${\iint }_{R_2}(x+y)dA$ a trav$é$s de la transformaci$ó$n:${\iint }_{R_2}(x+y)dA={\iint }_{D_2}(2u+v)*(2\mathrm{.}5)dA={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}(2u+v)*(2\mathrm{.}5)dudv=3\mathrm{.}75.$ Ejercicio $5.$ Evaluar la integral doble${\iint }_R(3x+2y)dA,$ d$ó$nde$R¿$Es satisfactorio el paralelogramo?$0\le 3x+y\le 8,-4\le xy\le 4,$ con la transformaci$ó$n$x=uv,y=u+3v.$