Pregunta: Transformaciones de variables aleatoriasSe definen las variables aleato-rias x y Y tal que x,Y∼exp(x;λ),λ>0. En otras palabras, son iid con distribuciónexponencial. La PDF de una distribución exponencial es dada por:fx(x;λ)=λe-λxcon x>0. Como son independientes, su PDF conjunta es dada por:fx,Y(x,y)=λ2e-λ(x+y)Considere las variables aleatorias definidas

Transformaciones de variables aleatorias

Se definen las variables aleato$-$

rias $x$ y $Y$ tal que $x,Y\sim exp(x$;$\lambda ),\lambda >0.$ En otras palabras, son iid con distribuci$ó$n

exponencial. La PDF de una distribuci$ó$n exponencial es dada por:

$f_x(x$;$\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}$

con $x>0.$ Como son independientes, su PDF conjunta es dada por:

$f_{x,Y}(x,y)={\lambda }^2{e}^{-\lambda (x+y)}$

Considere las variables aleatorias definidas por:

$Z=\frac{x}{Y},W=x+Y$

a$.$ Demuestre que la PDF conjunta de Z y W es dada por $f_{Z,W}(z,w)=\frac{{\lambda }^{2}w}{(z+1{)}^2}{e}^{-\lambda w}$ para

$z>0,w>0.$

b$.$ A partir de la PDF conjunta de $W$ y $Z$ del inciso anterior, determine la PDF marginal

de $Z{f}_Z(z)$ y la PDF marginal de $W{f}_W(w).$