Pregunta: Supongamos que tenemos una máquina que tiene una pieza que está sujeta a desgaste. La vida útil de esta pieza se distribuye exponencialmente con una media de m horas de funcionamiento (o tasa λ = 1/m). Tenemos una reserva de n piezas de repuesto y reemplazamos la pieza tan pronto como se desgasta. La máquina deja de funcionar una vez que se desgasta la

Supongamos que tenemos una máquina que tiene una pieza que está sujeta a desgaste. La vida útil de esta pieza se distribuye exponencialmente con una media de m horas de funcionamiento (o tasa λ = 1/m). Tenemos una reserva de n piezas de repuesto y reemplazamos la pieza tan pronto como se desgasta. La máquina deja de funcionar una vez que se desgasta la última pieza de repuesto. Supongamos que actualmente es el tiempo 0 y que la máquina está funcionando.

(a) [5 puntos] ¿Cuál es el tiempo esperado para reemplazar una pieza por primera vez?

(b) [5 puntos] Si la pieza actualmente en uso no se ha desgastado después de t horas, ¿cuál es la probabilidad?

¿Es posible que la pieza dure al menos otras 5 horas?

(c) [5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que reemplace k piezas en las próximas t horas?

(d) [5 puntos] ¿Cuál es el número esperado de piezas que reemplazará en las próximas t horas?

(e) [5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina siga funcionando después de t horas?

(Es decir, que la última pieza de repuesto no se haya desgastado en ese momento).

(f) [5 puntos] ¿Cuál es el tiempo esperado que la máquina continuará funcionando?

(g) [5 puntos] Si se queda sin piezas de repuesto después de t horas, ¿cuál es la probabilidad de que utilice n′ piezas en las primeras t/2 horas?