Which of the subsets of R3 are actually subspaces? (a) U=⎩⎨⎧⎣⎡xyz⎦⎤∈R3:x=y⎭⎬⎫;(b)U=⎩⎨⎧⎣⎡xyz⎦⎤∈R3:xyz=0⎭⎬⎫; (c) U=⎩⎨⎧⎣⎡xyz⎦⎤∈R3:x+y+z=0⎭⎬⎫;(d)U=⎩⎨⎧⎣⎡xyz⎦⎤∈R3:x≤y≤z⎭⎬⎫.

(a) Let alpha,beta be scalars and Consider,

Resuelto Which of the subsets of R3 are actually subspaces?

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Pregunta: Which of the subsets of R3 are actually subspaces? (a) U=⎩⎨⎧⎣⎡xyz⎦⎤∈R3:x=y⎭⎬⎫;(b)U=⎩⎨⎧⎣⎡xyz⎦⎤∈R3:xyz=0⎭⎬⎫; (c) U=⎩⎨⎧⎣⎡xyz⎦⎤∈R3:x+y+z=0⎭⎬⎫;(d)U=⎩⎨⎧⎣⎡xyz⎦⎤∈R3:x≤y≤z⎭⎬⎫.

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Solución
Paso 1
(a)
$\begin{matrix} \begin{aligned} U & = {[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] \in R^{3} : x = y}; \end{aligned} \end{matrix}$
Let $α, β$ be scalars and
$\begin{matrix} \begin{aligned} u & = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{1} \\ z_{1} \end{array}], v = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{2} \\ z_{2} \end{array}] \in U \end{aligned} \end{matrix}$
Consider,
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Texto de la transcripción de la imagen:

Which of the subsets of

R^{3}

are actually subspaces? (a)

U = ⎩ ⎨ ⎧ ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ \in R^{3} : x = y ⎭ ⎬ ⎫; (b) U = ⎩ ⎨ ⎧ ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ \in R^{3} : x yz = 0 ⎭ ⎬ ⎫

; (c)

U = ⎩ ⎨ ⎧ ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ \in R^{3} : x + y + z = 0 ⎭ ⎬ ⎫; (d) U = ⎩ ⎨ ⎧ ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ \in R^{3} : x \leq y \leq z ⎭ ⎬ ⎫