Pregunta: Solve the given DE using Laplace transforms 1. y′′+5y′+4y=5e4x+4,y(0)=0,y′(0)=1 2. y′′+9y=2x+1,y(0)=0,y′(0)=1

Laplace transform of $\mathcal{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{Y}\left(\mathrm{s}\right),\mathcal{L}\left({\mathrm{y}}^{\prime }\right)=\mathrm{s}\mathrm{Y}\left(\mathrm{s}\right)-\mathrm{y}\left(0\right),\mathcal{L}\left(\mathrm{y}{}^{″}\right)={\mathrm{s}}^2\mathrm{Y}\left(\mathrm{s}\right)-\mathrm{s}\mathrm{y}\left(0\right)-{\mathrm{y}}^{\prime }\left(0\right)$ , $\mathcal{L}\left({\mathcal{e}}^{\mathcal{a}\mathcal{x}}\right)\mathcal{=}\frac{\mathcal{1}}{\mathcal{s}\mathcal{-}\mathcal{a}}\mathcal{,}\mathcal{L}\left(\mathcal{c}\right)\mathcal{=}\frac{\mathcal{c}}{\mathcal{s}}\mathcal{,}\mathcal{L}\left({\mathcal{x}}^{\mathcal{n}}\right)\mathcal{=}\frac{\mathcal{n}\mathcal{!}}{{\mathcal{x}}^{\mathcal{n}\mathcal{+}\mathcal{1}}}$ , where c is constant . And inverse laplace of ${\mathcal{L}}^{\mathcal{-}\mathcal{1}}\left(\mathcal{Y}\left(\mathcal{s}\right)\right)\mathcal{=}\mathcal{y}\left(\mathcal{x}\right)$ , ${\mathcal{L}}^{\mathcal{-}\mathcal{1}}\left(\frac{\mathcal{1}}{\mathcal{s}\mathcal{-}\mathcal{a}}\right)\mathcal{=}{\mathcal{e}}^{\mathcal{a}\mathcal{x}}\mathcal{,}{\mathcal{L}}^{\mathcal{-}\mathcal{1}}\left(\frac{\mathcal{a}}{{\mathcal{s}}^{\mathcal{2}}\mathcal{+}{\mathcal{a}}^{\mathcal{2}}}\right)\mathcal{=}\sin \left(\mathcal{a}\mathcal{x}\right)\mathcal{,}{\mathcal{L}}^{\mathcal{-}\mathcal{1}}\left(\frac{\mathcal{s}}{{\mathcal{s}}^{\mathcal{2}}\mathcal{+}{\mathcal{a}}^{\mathcal{2}}}\right)\mathcal{=}\cos \left(\mathcal{a}\mathcal{x}\right)$