Pregunta: Considere las funciones: f:R→R definida por la expresión f(x)=x3−3x para todo x∈R, g:R→Z dada por g={(x,n)∈R×Z:n≤x

Considere las funciones: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por la expresión $f(x)=x^3-3x$ para todo $x\in \mathbb{R}$, $g:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}$ dada por $g=\{(x,n)\in \mathbb{R}\times \mathbb{Z}:n\le x<n+1\},\mathrm{y}$ $h:N\to C$, donde $N$ es el conjunto de todos los países y $C$ es el conjunto de todas las ciudades, definida así $h(n):=$ la capital del país $n$, para cualquier país $n$. Halle $f(3),f(-3),g(\pi ),g(-\pi ),g(-\sqrt{7})$, $g(\sqrt{7}),h($ Italia $)$ y $h($ India $)$ Ejercicio 19.5.3. Demuestre que una relación $f$ de $A$ en $B$ es una función si y sólo si para cualesquiera $x,y\in A$ y $a,b\in B$ tales que $(x,a)\in f\mathrm{y}(y,b)\in f$ $x=y\text{ implica }a=b.$ Note que si $f$ es una función de $A$ en $B$ entonces para cualesquiera $x$, $y\in A$ $x=y\text{ implica }f(x)=f(y)\text{. }$ Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos. Considere ${\pi }_1:A\times B⟶A\text{ y }{\pi }_2:A\times B⟶B$ definidas por ${\pi }_1((a,b))=a$ y ${\pi }_1((a,b))=b$ para cualquier $(a,b)\in$ $A\times B.{\pi }_1$ y ${\pi }_2$ son conocidas como funciones proyección de $A\times B$. Pruebe que ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ son en efecto funciones. Sean $f:A⟶C$ y $g:B⟶C$ funciones. - Pruebe que si $A\cap B=\varnothing$, entonces la relación $f\cup g$ de $A\cup B$ en $C$ es función. - Más generalmente, pruebe que $f\cup g$ de $A\cup B$ en $C$ es función si y sólo si ${f|}_{A\cap B}={g|}_{A\cap B}$. Ejercicio 19.5.9. Suponga que $f:A\to B$ es una función y $\delta$ es una relación en $B$. Se define la relación $\mathcal{R}$ en $A$ de la siguiente manera: $\mathcal{R}=\{(x,y)\in A\times A:(f(x),f(y))\in \delta \}.$ Pruebe que: - si $\mathcal{S}$ es reflexiva entonces $\mathcal{R}$ es reflexiva. - si $\delta$ es simétrica entonces $\mathcal{R}$ es simétrica. si $\mathcal{S}$ es transitiva entonces $\mathcal{R}$ es transitiva. Ejercicio 21.4.2. Sean $A$ y $B$ conjuntos, $P,Q\subseteq A$ y $f:A⟶B$ una función. 1. Pruebe que $f[P]-f[Q]\subseteq f[P-Q]$. 2. EEs necesario que $f[P-Q]\subseteq f[P]-f[Q]$ ? De una demostración o un contraejemplo.