Pregunta: Sean X1, X2, . . . , Xn sea una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución exponencial con función de densidad de probabilidad f(x|θ) = (1/θ) e^( −x/θ) , donde x > 0, y θ > 0. Si n = 10, encuentre la mejor región crítica de tamaño α = 0.05 para probar la hipótesis nula simple H0 : θ = 1 contra la hipótesis alternativa simple H0 : θ = 1/2. Aquí hay dos

Sean X1, X2, . . . , Xn sea una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución exponencial con función de densidad de probabilidad f(x|θ) = (1/θ) e^( −x/θ) , donde x > 0, y θ > 0. Si n = 10, encuentre la mejor región crítica de tamaño α = 0.05 para probar la hipótesis nula simple H0 : θ = 1 contra la hipótesis alternativa simple H0 : θ = 1/2. Aquí hay dos información útil que puede utilizar:

1. La distribución de la suma de n variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuidas con media 1 (Y ) tiene una distribución gamma con parámetro de escala 1 y parámetro de forma n:

f(y) = (1/Γ(n))(y^n−1)(e^ −y) , donde y > 0, y Γ(·) es la función gamma.

2. Use la función qgamma en R para encontrar el valor crítico de una estadística de prueba que tiene una distribución gamma. Por ejemplo, para una variable aleatoria gamma U con parámetro de forma 5 y parámetro de escala 1,

qgamma(0,99, forma=5, escala=1) devuelve 1,97015, donde P(U≤ 1,97015) = 0,99.