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  • Pregunta: Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo, y sea T : V → W una transformación lineal. Para H ∈ B(W) definimos Tˆ : V ×V → F por Tˆ(H)(x,y) = H(T(x),T(y)) para todo x, y ∈ V. Demostrar que: (a) Si H ∈ B(W) entonces Tˆ(H) ∈ B(V) (b) Tˆ : B(W) → B(V) es una transformación lineal. (c) Si T es un isomorfismo, entonces Tˆ también es un isomorfismo.

    Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo, y sea T : V → W una transformación lineal. Para H ∈ B(W) definimos Tˆ : V ×V → F por Tˆ(H)(x,y) = H(T(x),T(y)) para todo x, y ∈ V. Demostrar que:
(a) Si H ∈ B(W) entonces Tˆ(H) ∈ B(V)
(b) Tˆ : B(W) → B(V) es una transformación lineal.
(c) Si T es un isomorfismo, entonces Tˆ también es un isomorfismo.
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    Hay 3 pasos para resolver este problema.
    Solución
    Paso 1

    Paso 1) Demostrar que si H∈B(W) , entonces T^(H)∈B(V)

    Sea H∈B(W) . Entonces para para todo x,y,z∈V y todo escalar λ se tiene que

    1)T^(H)(x+λz,y)=H(T(x+λz),T(y))(1)=H(T(x)+λT(z),T(y))(2)=H(T(x),T(y))+λH(T(z),T(y))(3)=T^(H)(x,y)+λT^(H)(z,y)(4)2)T^(H)(x,y+λz)=H(T(x),T(y+λz))(5)=H(T(x),T(y)+λT(z))(6)=H(T(x),T(y))+λH(T(x),T(z))(7)=T^(H)(x,y)+λT^(H)(x,z)(8)

    C...

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