Pregunta: Sean P(x), Q(x) y R(x) los siguientes predicados: P(x):x2 −7x+10=0 Q(x):x2 −2x−3=0 R(x) : x < 0 (a) Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, donde el universo son todos los números enteros. Explique brevemente sus respuestas en un inglés preciso. i. ∀x, (P (x) →∼ R(x)) ii. ∀x, (Q(x) → R(x)) iii. ∃x, (P(x) → R(x)) Solución: Primero,

Sean P(x), Q(x) y R(x) los siguientes predicados:

P(x):x2 −7x+10=0 Q(x):x2 −2x−3=0 R(x) : x < 0

(a) Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, donde el universo son todos los números enteros. Explique brevemente sus respuestas en un inglés preciso.

i. ∀x, (P (x) →∼ R(x)) ii. ∀x, (Q(x) → R(x)) iii. ∃x, (P(x) → R(x))

Solución: Primero, tenga en cuenta que x2 − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5) y, por lo tanto, el conjunto de verdad de P(x) es {2,5}, y x2 −2x−3 = (x+1 )(x−3) y por lo tanto el conjunto de verdad de Q(x) es {−1, 3}. El conjunto de verdad de R(x) es el conjunto de enteros negativos. Las respuestas son: TFT

(b) Encuentre las respuestas a la parte (a) cuando el universo consta de todos los números enteros positivos. Solución: TFT

(c) Encuentre las respuestas al inciso (a) cuando el universo contiene solo los números enteros 2 y 5. Solución: TT F

¿Por qué la declaración iii es verdadera para la pregunta a y se vuelve falsa en la pregunta c? Además, ¿por qué la declaración ii es verdadera para la pregunta c?