Pregunta: Sean H, K dos grupos y G = H × K = {(h, k) : h ∈ H ∧ k ∈ K}. Defina en G una operación en coordenadas por (h1, k1)(h2, k2) = (h1h2, k1k2) (aquí se usa la multiplicación en H para la primera coordenada, en K para la segunda coordenada). Ya hemos visto que G es un grupo. Tenga en cuenta que esta definición no se limita a solo dos grupos: uno podría definir

Sean H, K dos grupos y G = H × K = {(h, k) : h ∈ H ∧ k ∈ K}. Defina en G una operación en coordenadas por (h1, k1)(h2, k2) = (h1h2, k1k2) (aquí se usa la multiplicación en H para la primera coordenada, en K para la segunda coordenada). Ya hemos visto que G es un grupo. Tenga en cuenta que esta definición no se limita a solo dos grupos: uno podría definir fácilmente este método de combinación de grupos para cualquier número finito de grupos. Entonces, dados los grupos G1, G2, . . . , Gn, podríamos hablar del grupo G1 × G2 × · · · × Gn formado por n-tuplas donde la 1ª entrada procede de G1, la 2ª entrada de G2 y así sucesivamente.

#1 Sean grupos A, B, C, D.

(a) Demuestre que A × B y B × A son isomorfos.

(b) Si G = A × B y H = C × D, demuestre que G × H y A × B × C × D son isomorfos.