Pregunta: Sean f(u,v)= ( tan (u-1)-e^(v), u^2-v^2) y g(x,y)=(e^(x-y), x-y). Calcular f৹g y D(f৹g)(1,1)

Cálculo vectorial EJEMPLO 2.45 Sean $f(x,y)=\left(\cos y+x^2,e^{x+7}\right)$ y $g(ii,v)=\left(e^{m^2},u-\mathrm{sen}v\right)$. a) Dar una formula para $f\circ g$. b) Calcular $\mathbf{D}(f\circ g)(0,0)$ por medio de la regla de la cadena. Solución a) Tenemos $\begin{array}{rl}(f\circ g)(u,v)& =f\left(e^{u^2},u-\mathrm{sen}v\right)\\ & =\left(\cos (u-\mathrm{sen}v)+e^{2u^2},e^{u^{2+}+u-\mathrm{sen}}\right).\end{array}$ b) Por la regla de la cadena, $\mathbf{D}(f\circ g)(0,0)=[\mathbf{D}f(g(0,0))][\mathbf{D}g(0,0)]=[\mathbf{D}f(1,0)][\mathbf{D}g(0,0)]\text{. }$ Ahora bien, $D_g(0,0)={\left[\begin{array}{cc}2u{e}^{u{r}_2}& 0\\ 1& -\cos v\end{array}\right]}_{(u,v)=(0,0)}=\left[\begin{array}{rr}0& 0\\ 1& -1\end{array}\right]$ $y$ $\mathbf{D}f(1,0)={\left[\begin{array}{cc}2x& -\mathrm{sen}y\\ e^{x+y}& e^{x+y}\end{array}\right]}_{(x,y)=(1,0)}=\left[\begin{array}{ll}2& 0\\ e& e\end{array}\right]$ Recuérdese que D $f$ se evalúa en $g(0,0)$, ¡no en $(0,0)$ !). Por tanto, $\mathbf{D}(f\circ g)(0,0)=\left[\begin{array}{ll}2& 0\\ e& e\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}0& 0\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}0& 0\\ e& -e\end{array}\right].$