Pregunta: Sean A, B conjuntos, sean P, Q ⊆ A subconjuntos de A, y sea f : A → B una función inyectiva. Demuestre que f(P) − f(Q) = f(P − Q). Problema 2 • Hallar una inversa por la derecha de f : R → [1,∞) definida como f(x) = ex 2 para todo x ∈ R. • Hallar una inversa por la izquierda de f : [0, ∞) → R definida como f (x) = x 3 + 4 para todo x ∈ [0,∞). Problema 3 Sea

Sean A, B conjuntos, sean P, Q ⊆ A subconjuntos de A, y sea f : A → B una función inyectiva. Demuestre que f(P) − f(Q) = f(P − Q). Problema 2 • Hallar una inversa por la derecha de f : R → [1,∞) definida como f(x) = ex 2 para todo x ∈ R. • Hallar una inversa por la izquierda de f : [0, ∞) → R definida como f (x) = x 3 + 4 para todo x ∈ [0,∞). Problema 3 Sea f : A → B una función. Demostrar que si f tiene inversa g1 por la derecha y g2 inversa por la izquierda, entonces g1 = g2. Problema 4 Sea f : A → B una función. Demuestre que si f tiene dos inversas derechas distintas, entonces no tiene inversa izquierda. Problema 5 Sean funciones f : A → B y g : B → C. Supongamos que f y g tienen inversas. Demuestre que g ◦ f tiene inversa y que (g ◦ f) −1 = f −1 ◦ g −1 . Problema 6 Sean f, g : R → R definidas por f(x) = ( 4x + 1 , si x ≥ 0 x , si x < 0, g(x) = ( 3x , si x ≥ 0 x + 3 , si x < 0. Hallar la inversa de f ◦ g Problema 7 Sea f : A → B una función Demostrar que f tiene inversa por la derecha si y sólo si f es sobreyectiva Problema 8 Sea f : A → B a Demostrar que f tiene inversa si y sólo si f es biyectiva 1 Problema 9 Sean funciones f : A → B y g : B → C. Demostrar que si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva. Problema 10 Sean funciones f : A → B y g : B → C. • Demostrar que si g ◦ f es sobreyectiva entonces g es sobreyectiva • Demostrar que si g ◦ f es biyectiva entonces f es inyectiva y g es sobreyectiva. • Encuentre funciones f y g tales que g ◦ f sea biyectiva pero f no sea sobreyectiva y g no sea inyectiva. Por lo tanto, los enunciados anteriores son agudos. Problema 11 Sea f : A → B una función. Demuestre que f es inyectiva si y sólo si f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y ) para todo X, Y ⊆ A. Problema 12 Sea una función f : A → B. • Demostrar que f es inyectiva si y sólo si E = f −1 (f(E)) para todos los subconjuntos E ⊆ A. • Demostrar que f es sobreyectiva si y sólo si F = f(f −1 (F)) para todos los subconjuntos F ⊆ B. Problema 13 Sean A, B ser conjuntos. • Sea f : A → B una función. Supongamos que f es inyectiva. ¿La restricción f|S es necesariamente inyectiva? Da una demostración o un contraejemplo. • Sea g : A → B una función. Supongamos que g es sobreyectiva. ¿La restricción g|S es necesariamente sobreyectiva? Da una demostración o un contraejemplo.