Pregunta: Sea {Xt, t ≥ 0} un proceso de Poisson con tasa λ y tiempos de llegada T1, T2, . . . (b) Para 0 < r < s < t y m ≤ n ≤ N, calcule P(X r =m, X s =n | Xt = N). (c) El objetivo de esta pregunta es obtener la densidad conjunta condicional de T1 y T 2 dado X t = 2. i) ¿Cuál es P(T 1 > t 1 ,T 2 > t 2 | Xt = 2) para t 1 > t o t 2 > t? ii)

Sea {Xt, t ≥ 0} un proceso de Poisson con tasa λ y tiempos de llegada T1, T2, . . .

(b) Para 0 < r < s < t y m ≤ n ≤ N, calcule P(X _r =m, X _s =n | Xt = N).

(c) El objetivo de esta pregunta es obtener la densidad conjunta condicional de T1 y T ₂ dado X _t = 2.

i) ¿Cuál es P(T ₁ > t ₁ ,T ₂ > t ₂ | Xt = 2) para t ₁ > t o t ₂ > t?

ii) Demuestre que, para t ₂ ≤ t ₁ ≤ t, P(T ₁ > t ₁ , T ₂ > t ₂ | X ₂ = 2) no depende de t ₂ , calculando primero P(T1 > t ₁ , T ₂ ≤ t ₂ | X ₂ = 2).

iii) Obtenga la función de distribución acumulativa condicional de T1 y T2 dado Xt =

2: FT ₁ ,T ₂ |X _t=2 (t ₁ , t ₂ ) = P(T ₁ ≤ t ₁ , T2 ≤ t ₂ |X ₂ = 2).

iv) Deducir la densidad conjunta condicional de T ₁ y T ₁ dado Xt = 2.

(d) Deduzca var(T ₂ − T ₁ | X _t = 2).