Pregunta: Sea X1,X2,...,Xn una muestra aleatoria de una distribución uniforme en el intervalo (0,a). Recuerde que el estimador de máxima verosimilitud (MLE) de a es ˆ a = max(Xi). a) Sea Y = máx(Xi). Utilice el hecho de que Y ≤ y si y sólo si cada Xi ≤ y para derivar la función de distribución acumulativa de Y. b) Encuentre la función de densidad de probabilidad de Y

Sea X1,X2,...,Xn una muestra aleatoria de una distribución uniforme en el intervalo (0,a). Recuerde que el estimador de máxima verosimilitud (MLE) de a es ˆ a = max(Xi).
a) Sea Y = máx(Xi). Utilice el hecho de que Y ≤ y si y sólo si cada Xi ≤ y para derivar la función de distribución acumulativa de Y.
b) Encuentre la función de densidad de probabilidad de Y a partir de la cdf.
c) Utilice la función de probabilidad obtenida para demostrar que MLE para a (ˆ a = max(Xi)) está sesgado.
d) Digamos que me gustaría considerar otro estimador de a, lo llamaré ˆ b = 2 ¯ X. ¿Es un estimador insesgado de a (mostrar)? ¿Cómo puedes explicarle a alguien sin cálculos por qué ˆ b = 2 ¯ X es un estimador razonable de a?
e) Con base en el resultado de (c), propondré usar un estimador insesgado para a en lugar de ˆ a = max(Xi), digamos ˆ c = n+1 n max(Xi). Dado que la eficiencia relativa de dos estimadores insesgados cualesquiera ˆ b,ˆ c es la razón de sus varianzas
V ar(ˆ b) V ar(ˆ c)
,
Explique cuál de estos dos estimadores insesgados es más eficiente. Puedes obtener V ar(ˆ c) = V ar(n+1 n max(Xi)) a partir de V ar(ˆ a) = Var(Y). La varianza de Y = max(Xi) es
Var(Y) =
n/( (n + 1)^2(n + 2))*a^2