Sea X una muestra aleatoria de tamano 1 con fdp fx(x;θ)=θ2xe−θxI(0,∞)(x) si se quiere probar H0:θ≤1H1:θ>1 Y se tiene que la región crítica es Cγ={x∣x<1}. Encuentre la función potencia y el tamaño de la prueba

4. Función de potencia = beta(theta) =P(X<1| theta )= int_0^1theta^2xe^{-theta x}dx=\int_0^theta texp(-t)dt;~take~theta x=t\Rightarrow theta dx=dt

Resuelto Sea X una muestra aleatoria de tamano 1 con fdp

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Pregunta: Sea X una muestra aleatoria de tamano 1 con fdp fx(x;θ)=θ2xe−θxI(0,∞)(x) si se quiere probar H0:θ≤1H1:θ>1 Y se tiene que la región crítica es Cγ={x∣x<1}. Encuentre la función potencia y el tamaño de la prueba

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Solución
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To start solving the first step, the power function (Función de potencia), calculate the integral from 0 to 1 of the probability density function , which equals to after substituting with in the integral.
Paso 1
4. Función de potencia = $β (θ)$ =P(X<1| $θ$ )= $\int_{0}^{1} θ^{2} x e^{- θ x} d x = \int_{0}^{θ} t \exp (- t) d t; t a k e θ x = t \Rightarrow θ d x = d t$
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