Pregunta: Sea x(u, v) = (sinucosv, sinusinv, cosu), 0 < u < π, 0 < v < 2π una parametrización de la esfera unitaria S^2 = {(x,y,z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 1}. Fije un ángulo 0 < θ 0 < π y considere el paralelo (en resumen, solo escribimos u = θ 0 ) en la esfera unitaria α(t) = (sinθ 0 cost, sinθ 0 sint, cosθ 0 ), 0 < t < 2π. (i) Dibuje la curva α. (ii) Calcule la

Sea x(u, v) = (sinucosv, sinusinv, cosu), 0 < u < π, 0 < v < 2π una parametrización de la esfera unitaria S^2 = {(x,y,z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 1}. Fije un ángulo 0 < θ ₀ < π y considere el paralelo (en resumen, solo escribimos u = θ ₀ ) en la esfera unitaria α(t) = (sinθ ₀ cost, sinθ ₀ sint, cosθ ₀ ), 0 < t < 2π.

(i) Dibuje la curva α.

(ii) Calcule la curvatura normal y la curvatura geodésica de α.

(iii) A partir de (ii), encuentre los valores θ ₀ tales que la curva se vuelve geodésica (una curva se llama geodésica si su curvatura geodésica es idénticamente cero).