Pregunta: Sea (x n ) una secuencia de números reales distintos de cero, es decir, x n no es igual a 0 para todo n ∈ N. Supongamos que lim n→∞ x n+1 /x n existe y se denota por L = lim n→∞ x norte+1 /x norte . (a) Demuestre que si (y n ) es una secuencia convergente entonces lim n→∞ |y n | = | lim n→∞ y n |. (Esta afirmación también indica que (|y

Sea (x _n ) una secuencia de números reales distintos de cero, es decir, x _n no es igual a 0 para todo n ∈ N. Supongamos que lim _n→∞ x _n+1 /x _n existe y se denota por L = lim _n→∞ x _norte+1 /x _norte .

(a) Demuestre que si (y _n ) es una secuencia convergente entonces lim _n→∞ |y _n | = | lim _n→∞ y _n |. (Esta afirmación también indica que (|y _n |) converge).

(b) Supongamos que (x _n ) es positivo, es decir, x _n > 0 para todo n ∈ N. Demuestre que si L < 1 entonces (x _n ) converge y lim _n→∞ x _n = 0.

(c) (Una versión más sólida del Teorema 3.2.11) Demuestre que si |L| < 1 entonces (x _n ) converge y lim _n→∞ x _n = 0. (Aquí no asumimos que (x _n ) sea positivo.)

(d) Si L = 1, ¿(x _n ) siempre converge? Si no es así, dé un contraejemplo, es decir, encuentre una secuencia (x _n ) tal que limn→∞ x _n+1 /x _n = 1 pero (x _n ) diverja. Si su respuesta es sí, pruebe su afirmación, es decir, demuestre que si lim _n→∞ x _n+1 /x _n entonces (x _n ) converge y lim _n→∞ x _n = 0.