Pregunta: Sea x1,dots,xn una muestra aleatoria de la población con distribuciónBeta(θ,1), donde θ>0, es decir, con función de densidadf(x;θ)=θxθ-1(a) Encuentre el estimador máximo verosímil de τ(θ)=θ1+θ.(b) Encuentre una estadística suficiente, y compruebe si es completa.(c) ¿Es S=∑i=1nxi una estadística suficiente?. ¿Es S=∑i=1nxiuna estadística

Sea $x_1,$dots,$x_n$ una muestra aleatoria de la poblaci$ó$n con distribuci$ó$n

Beta$(\theta ,1),$ donde $\theta >0,$ es decir, con funci$ó$n de densidad

$f(x$;$\theta )=\theta x^{\theta -1}$

$($a$)$ Encuentre el estimador m$á$ximo veros$í$mil de $\tau (\theta )=\frac{\theta }{1+\theta }.$

$($b$)$ Encuentre una estad$í$stica suficiente, y compruebe si es completa.

$($c$)¿$Es $S={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i$ una estad$í$stica suficiente?. $¿$Es $S={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i$

una estad$í$stica completa?

$($d$)¿$Existe una funci$ó$n de $\theta ,\tau (\theta ),$ para el cual exista una estimador

insesgado cuya varianza coincida con la CICR? Justifique.

$($e$)$ Encuentre un UMVUE para las siguientes funciones de $\theta$ :

$($i$)\tau (\theta )=\theta$

$($ii$)\tau (\theta )=\frac{1}{\theta }$

$($iii$)\tau (\theta )=\frac{\theta }{1+\theta }$