Pregunta: Sea V un F-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita.(a) Desigualdad de Parseval. Sea {v1,dots,vn} una base ortonormal de V. Demuestra que para todo x,yinV,(:x,y:)=∑i=1n:x,vi:bar ((:y,vi:)).(b) Usa (a) para probar que si β es una base ortonormal de V con producto interno (:*,*:), entonces para

Sea $V$ un $F-$espacio vectorial con producto interno de dimensi$ó$n finita.

$($a$)$ Desigualdad de Parseval. Sea $\{v_1,$dots,$v_n\}$ una base ortonormal de $V.$ Demuestra que para todo $x,$yinV,

$($:$x,y$:$)={\displaystyle \sum _{i=1}^n}\frac{\text{:}x,v_i\text{:}}{b}ar(($:$y,v_i$:$)).$

$($b$)$ Usa $($a$)$ para probar que si $\beta$ es una base ortonormal de $V$ con producto interno $($:$*,*$:$),$ entonces para cada

$x,$yinV,

$($:${\phi }_{\beta }(x),{\phi }_{\beta }(y)$:${)}^{\text{'}}=($:$[x{]}_{\beta },[y{]}_{\beta }$:${)}^{\text{'}}=($:$x,y$:$)$

donde ${\phi }_{\beta }$ es el isomorfismo usual con $F^n$ y $($:$[x{]}_{\beta },[y{]}_{\beta }$:${)}^{\text{'}}$ es el producto punto usual.

$($c$)$ Desigualdad de Bessel. Sea $S=\{v_1,$dots,$v_n\}$ un subconjunto ortonormal de $V.$ Prueba que para cada xinV

se tiene que

$||x|{|}^2\ge {\displaystyle \sum _{i=1}^n}|($:$x,v_i$:$){|}^2.$

$($d$)$ Demuestra que se da la igualdad, si y s$ó$lo si xingen$(S).$